1.3 正态模型下的均值-方差效用分析

此节将从理论上来讨论“提高保额是否能提高农户效用”的问题。这个比较模型的初始提出者是中国农业科学院农业信息研究所的王克副研究员。过去10年，我国农业保险快速发展，但保障水平不足一直是其最大的短板之一。业内提出的一种常见方案是通过提高单位面积保额来提升农业保险保障水平(黄延信和李伟毅，2013；吴焰，2015)。而王克(2014)和王克等(2018)认为农业保险保障水平并不是保险人提供的最大风险保障程度，而是购买农业保险后农业保险为农民提供的实际保障程度，可以用农民购买保险后的福利效用变动程度来衡量。他们利用蒙特卡罗数值模拟技术对农业保险合约变化的效果进行了仿真模拟，结果显示保额只是影响农民购买保险后的福利效用提升的一个因素，在我国农业保险现有方案下，保额的提高并不必然导致其福利效用的提升。

此节，我们将在产量服从正态分布的假设下，使用均值-方差效用函数给出一些理论结果，一是验证提高保额是否一定能提高效用，二是比较两种提高保额的方式的效果。

1.3.1 模型假设

模型假设包括以下几个方面。

(1)考虑以下两种保险赔付方式：

①M1=θp·max(μY-Y,0)，其中θ是一个价格比例参数，0＜θ≤1, μY=E(Y)。

②M2=p·max(λμ Y-Y,0)。

这两种方式都可以看作是式(1.3)的特例，第一种方式实质上对应我国的“成本保险”, θ控制了保额的大小，本书将这种方式称为中国模式；第二种对应于通常的美国模式(Goodwin&Mahul,2004)。若要提高保额，就意味着第一种方式要增加θ，第二种方式要增加λ。

(2)设购买保险后农户的收入为π，则

π=L[pY+pI-(1+a)pE(I)-c+s]

其中，a＞0为保费的风险附加系数；s为单位面积的保费补贴；c为单位面积的种植成本；L为种植面积。

(3)我们采用均值-方差效用函数来度量农户收入的福利效用，即

其中，ρ为风险厌恶系数。

1.3.2 主要理论结果

这里将在产量服从正态分布的假设下，给出两种模式在保额增加时，均值-方差效用函数也增加的条件。

令(r-Y)+=max(0, r-Y)。

引理1.1 若随机变量Y服从正态分布，对任意的r，有

其中，;Z为标准正态随机变量；ϕ(t)和Φ(t)为标准正态分布的密度函数和分布函数。

证明：(1)首先对标准正态随机变量 Z，计算E[(Z-t)+]、和。根据Kaas等(2009)例3.10.1知E[(Z-t)+]=ϕ(t)-t[1-Φ(t)]。因为ϕ′(z)=-zϕ(z)，所以

又因为(Z-t)+-(t-Z)+=Z-t，有

所以

所以

(2)利用(1)中的证明结果，可得

证毕。

由引理1.1可以得到一个特例，即当r=μY时，E[(μY-Y)+]=, , , Cov(Y, 。

定理1.3 在均值-方差效用函数下，若单产Y服从正态分布，又假设其他参数不变的情况下，1.3.1小节中的两种保险赔付方式给农户带来如下结果。

(1)对中国方式增加θ(0＜θ≤1)，则农户收入的方差单调递减，而农户的效用只在时单调递增。

(2)对美国方式增加λ，则农户收入的方差单调递减，而农户的效用只在λ满足条件0＜a≤ρμYσYLp{ϕ(η)-η[1-Φ(η)]}时单调递增，其中。

证明：(1)根据引理1.1的特例，直接可得第一种方式农户收入π1的方差为

所以

因此当0＜θ≤1时，Var(π1)关于θ单调递减。

同样可以直接计算得到第一种方式农户的均值-方差效用U1为

所以

当时，U1(π1)关于θ单调递增。

(2)根据引理1.1直接计算，可得第二种方式农户收入π2的方差为

Var(π2)=L2σ2{1+[ηϕ(η)+(η2+1)Φ(η)]-[ϕ(η)+ηΦ(η)]2-2Φ(η)}

直接计算，可知

所以，当λ≤1时，d , Var(π2)关于λ单调递减。

同样，可以直接计算得到第二种方式农户的均值-方差效用U2为

所以

当λ满足条件0＜a≤ρσYLp{ϕ(η)-η[1-Φ(η)]}时，U2(π2)关于λ单调递增。

定理1.3说明在其他情况不变的条件下，增加保额(增加θ或λ)，农户收入的波动会减小，但由于增加保额，使得期望赔付和附加保费也相应增加，两者会有一个交换关系，这使得农户的效用不是必然递增的，需要在一定的条件下才能成立。出现这样的结果是很自然的，因为增加保额，保费增多，农户投保后风险减小，那么农户用增加的保费换取风险减小的最终效用取决于多个条件，包括保费增加的程度、风险减小的程度和风险厌恶的程度等。只有在增加保额同时不增加保费(如由财政来负责增加的保费)的情况下，农户的效用才会是递增的。

1.3.3 数值分析

下面将设置参数，并展示数值结果。

根据Shen和Odening(2013)文中第7页中将风险厌恶系数ρ取为1.4×10-5，它对应的相对风险厌恶系数为0.4，而Leblois等(2014)将相对风险厌恶系数取为1～4，作为参照，我们把最大的风险厌恶系数ρ取为1.4×10-4。

我们粗略地将单位面积的保费补贴设为0，单位面积的种植成本为单位产量的55%。根据Shen和Odening(2013)文中第6～7页，将种植面积取一个均值设为2公顷，每公顷水稻产量均值取为8吨/公顷，标准差取为1吨/公顷，价格取为2560元/吨。具体的参数设置如表1.3所示。

从图1.2中可以看出，当风险厌恶程度较小时(ρ=1.4× 10-5)，少量的附加保费(a=0.05)也会使效用随保额先递增后递减，如果附加保费稍多一些，则效用随保额递减得更快。从图1.3中可以看出，当风险厌恶程度变大后(ρ=1.4×10-4)，附加保费相对较小时(a=0.05)，效用随保额递增，但附加保费变大(a=0.25)，效用仍随保额递增但增速减慢。这个结果说明当农户非常厌恶风险时，他们愿意支付保费换取风险减小，但农户不那么厌恶风险时，提高保额(增加保费，减小风险)没有提高他们的效用。也就是说，是否提高效用还取决于农户的风险厌恶程度和费用增加的程度。

图1.4和图1.5也有类似于图1.2和图1.3的结果，也就是说无论是对中国方式还是美国方式，仅仅增加保额并不能保证提高农户效用。

最后，从图1.6中可以看到，当除了保额参数之外的其他参数都相同时，如果两种方式的最大保额也相同，即λμYp=θμYp 或λ=θ，则中国方式比美国方式有更大的均值-方差效用。也可以说，中国方式只需要较小的保额就可以达到美国方式很大保额的效用。当然这不是说中国方式比美国方式好，而是说保额只是一个参数而已，好的合约设计应该有精确的定义，有相对全面的比较。