§1.4 克莱姆（Cramer）法则

导学提纲

1．克莱姆法则的条件、结论？

2．何谓“齐次线性方程组”？为什么说“齐次线性方程组恒有解”？

3．将克莱姆法则用于齐次线性方程组，得哪些结论？

本节将定理1.1.1和定理1.1.2推广到n个方程n个未知量的一次（线性）方程组情形．

定理1.4.1（Cramer法则） 含有n个方程n个未知量的线性方程组

当其系数行列式

时，有唯一解：, …, n），其中

分析证法 已知线性方程组（1）的系数行列式D≠0．要证明① 方程组有解；② 只有一个解；③ 解是．先将代入方程组（1）的每一个方程的左边．如果都等于右边的常数项，这就证明了 ①和 ③．然后假设x1=c1, x2=c2, …, xn=cn是（1）的一个解．推出,…，，这就证明了 ②.（证明略）

例1.4.1 解线性方程组

解 系数行列式

方程组有唯一解．

解是

（读者可将解代入方程组验算之）.

如果线性方程组（1）的常数项全为零，即

称为齐次线性方程组．齐次线性方程组一定有解，因为至少有解x1=0, x2=0, …, xn=0，称为零解．如果除零解外还有其他解x1=c1, x2=c2, …, xn=cn，即c1, c2, …, cn不全为零，称为非零解．

推论1.4.1 方程个数等于未知量个数的齐次线性方程组，如果它的系数行列式不等于零，则只有零解．

推论1.4.1的逆否命题是：方程个数等于未知量个数的齐次线性方程组，如果有非零解，则它的系数行列式等于零．

以后，定理2.3.3将证明：如果齐次线性方程组（2）的系数行列式等于零，则有非零解．

例1.4.2 判定齐次线性方程组

是否只有零解？

解 系数行列式

所以齐次线性方程组只有零解．

例1.4.3 下列齐次线性方程组有非零解，求λ值．

分析 该齐次线性方程有非零解，据推论1.4.1的逆否命题，其系数行列式应该等于零．

解 解方程

所以.

习题1.4

1．解线性方程组

2．证明下列齐次线性方程组只有零解．

3．下列齐次线性方程组有非零解，问λ取何值？