2.2 典型绝缘管壁电磁流量传感器基本理论[48-50,55-57]

2.2.1 基本测量原理

电磁流量传感器是基于法拉第电磁感应定律的一种测量导电流体流量的感应式传感器。电磁流量传感器基本结构如图2-1所示。

图2-1中，绝缘管道置于磁场内。在与磁场方向、管道的中心轴、管道的直径两两垂直的管道位置，装有两个与导电流体相接触的电极（除特殊情况外，电极端部都在测量管内直径上）。导电流体以平均速度沿测量管流动。励磁线圈在测量管道空间中产生感应磁场，磁感应强度为B。在与磁场方向、管道中心轴相互垂直的位置，安装一对与导电流体接触的电极。

宏观上将流体的运动看作导体在磁场内切割磁力线的运动。当导电流体流过磁场覆盖的空间时，会在测量电极两端产生相应的感应电动势E。E的大小与回路相交的磁通量Φ随时间的变化率成正比，即

式中，Φ为流体运动时切割磁力线形成的磁通量，K为由传感器电极尺寸、管道形状、流体状态等决定的传感器系数。

若只考虑感应电动势的大小，则通过式（2-3）有

式中，B为磁感应强度，S为磁通量变化的截面积，D为管道直径，l为运动距离，为导电流体的平均流速。当传感器为典型点电极绝缘管壁电磁流量传感器，且流体为满管对称流时，传感器系数K为1。

假设测量管内的磁场为恒稳均匀磁场，对于典型点电极绝缘管壁电磁流量传感器则有

根据体积流量公式（2-2）可得

式中，A为圆形管道横截面积。

由式（2-5）、（2-6）得

通过式（2-7）可知，电磁流量传感器通过感应电动势获取流速值，进而结合磁感应强度与管道直径计算出流体流量。

2.2.2 测量方程及边界条件

实际中，流体内部微元的速度分布并非处处相等，导电流体在磁场内流动产生感应电动势，比一般导体在磁场内做切割磁力线运动时在导体两端产生电动势的情况要复杂得多。因此，通过微分方程的建立与解析，需要从空间关系上认识电磁流量传感器输出感应电动势与流体的关系。

为便于分析和阐明电磁流量传感器的基本测量方程及边界条件，采用如图2-2所示的典型点电极绝缘管壁电磁流量传感器模型。

图2-2中，测量管直径为2a，管道长为2L。被测非压缩性液体是电性能均匀的导电介质，流动状态呈中心轴对称分布。设在通电线圈（图上未画出）中产生感应磁场，并且磁场、两电极轴、测量管轴三者之间两两垂直。

建立基本方程首先需做如下假设。

①流体磁导率μ均匀，且等于真空中磁导率。

②流体的电导率σ是均匀、各向同性且符合欧姆定律的。

③流体中位移电流可忽略。

④磁场在无限大范围内，磁感应强度B是均匀分布。

⑤排除其他如霍尔效应、热电效应等。

假设条件①④表明磁场均匀，是求解方程的简化条件；条件②说明被测介质的物性。

麦克斯韦方程组为

式中，j为电流密度；D为电位移矢量；H为磁场强度；为哈密顿算子；εe为介电常数。

由假设条件③得

由假设条件④得

将式（2-9）、式（2-10）代入式（2-8），有

引入电动势U，使

由假设条件③，由于激磁电流的角频率很低，忽略位移电流而只考虑传导电流，得到电流密度j的散度等于零，即

由假设条件②，欧姆定律的普遍公式为

式中，j是电流密度矢量；E是电场强度；B是磁感应强度；v是流体速度。

将式（2-12）、式（2-13）代入式（2-14），得

结合式（2-12），得

式中，U是感应电动势；是拉普拉斯算子；B是磁感应强度；v是流体速度。

式（2-16）是电磁流量传感器的基本方程。通常解偏微分方程（2-16）的方法是借助辅助函数G（格林函数）, G满足拉普拉斯方程：

通过选择合适的边界条件即可求解式（2-16），得到流体流速与感应电动势之间的数学关系。

典型点电极绝缘管壁长筒式电磁流量传感器在满管对称流状态下，管壁处边界条件（除电极处）是

电极处的边界条件表示为

式中，S0为电极面积。

在传感器内应用高斯定理把体积分化为面积分，即应用公式

有恒等式

对式（2-21）应用式（2-20），得

结合式（2-17）、式（2-18）、式（2-19）及式（2-22），得

由于在传感器边上速度为零，在两端v与B同向或者反向，有

由于有式（2-24），则由式（2-23）得电极两端电压U为

式中，G称为权重函数，令

忽略湍流情况，假定流速只有轴向流，即

在式（2-27）、式（2-28）情况下，式（2-25）简化为

根据假设条件④，令

将式（2-30）、（2-31）代入式（2-29），令Wy =W，由式（2-29）得

如果权重函数W= 1, v和B都是常数，则有

实际情况下，传感器内不同位置对传感器输出信号的贡献并不一样，可用权重函数表示。权重函数W的研究是电磁流量传感器重要基本理论之一。本书将在第2.3节对权重函数理论进行详细描述。