第10章　机械振动和电磁振荡

一、选择题

1．图10-1中A、B、C为三个不同的简谐振动系统。组成各系统的各弹簧的原长、各弹簧的劲度系数及重物质量均相同。A、B、C三个振动系统的ω²（ω为固有角频率）值之比为（　  ）。[华南理工大学2009研]

图10-1

A．2:1:　 

B．1:2:4

C．2:2:1

D．1:1:2

【答案】B

【解析】图10-1（a）为两弹簧串联即，

图10-1（a）为两弹簧并联即，

故A、B、C三个振动系统的ω²（ω为固有角频率）值之比为:

2．把一根十分长的绳子拉成水平，用手握其一端，维持拉力恒定，使绳端在垂直于绳子的方向上作简谐振动，则（　　）。[华南理工大学2009研]

A．振动频率越高，波长越长

B．振动频率越低，波长越长

C．振动频率越高，波速越大

D．振动频率越低，波速越大

【答案】B

【解析】此简谐波为横波，柔软绳索中横波的传播速度为（为绳索中的张力，为绳索单位长度的质量），故当维持拉力恒定时则波速恒定。又波速、波长和频率满足如下关系:，故振动频率越低，波速不变时波长越长。

3．两相干波源S₁和S₂相距λ／4，（λ为波长），S₁的相位比S₂的相位超前，在S₁，S₂的连线上，S₁外侧各点（例如P点）两波引起的两谐振动的相位差是（　　）。[华南理工大学2010研]

图10-2

A．0　 

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】如：假设两个波源相位相同，由于S1更靠近P ,所以其在P引起的振动应当超前；又由于S1本身比S2超前，所以S1 在P引起的振动应当超前

4．一质点沿着x轴作简谐振动，周期为T、振幅为A，质点从x₁＝0运动到所需要的最短时间为（　　）。[电子科技大学2009研]

A．　 

B． 

C．　

D．

【答案】A

【解析】设简谐振动的运动方程为：，则

假设x₁＝0时对应，将代入运动方程得

当k＝0时有最短时间。

5．两质点1和2均沿x轴作简谐振动，振幅分别为A₁和A₂，振动频率相同。在t＝0时，质点1在平衡位置向x轴负向运动，质点2在处向x轴正向运动，则两质点振动的位相差为（　　）。[电子科技大学2010研]

A．　

B．　

C．　

D．

【答案】D

【解析】设质点1、2的振动方程分别为，当t＝0时＝0且向x轴负向运动，＝且向x轴正向运动，那么：

得

6．一质点作简谐振动，其振动方程为x＝Acos（ωt＋φ）。在求质点的振动动能时，得出下面5个表达式：

其中m是质点的质量，K是弹簧的劲度系数，T是振动的周期。这些表达式中（　　）。[华南理工大学2010研]

A．（1），（4）是对的

B．（2），（4）是对的

C．（1），（5）是对的

D．（3），（5）是对的

E．（2），（5）是对的

【答案】D

【解析】在振动中，质点机械能守恒。在质点速度为0时，其势能为，也就是系统的总机械能。在任意时刻，动能与势能之和不变，所以动能可以表示为

又

则

故（1）（3）（5）正确。

二、填空题

1．一质点同时参与了三个简谐振动，它们的振动方程分别为

其合成运动的运动方程为x＝（　　）。[华南理工大学2011研]

【答案】x＝0；

【解析】运用矢量图进行简化计算：

2．一列火车以20m／s的速度行驶，若机车汽笛的频率为600Hz，一静止观测者在机车前和机车后所听到的声音频率分别为（　　）和（　　）（设空气中声速为340m／s）。[华南理工大学2011研]

【答案】637.5Hz；566.7Hz

【解析】（1）多普勒公式为 其中，、分别为波源和观察者的速度；当观察者站在机车前面时，为0，为20，带入数值可得：。

（2）同理可得，机车后面接受到的频率为：。

3．一圆锥摆摆长为l、摆锤质量为m，在水平面上作匀速圆周运动，摆线与铅直线夹角θ，则

（1）摆线的张力T＝（　　）；

（2）摆锤的速率v＝（　　）。[华南理工大学2010研]

图10-3

【答案】；

【解析】在竖直方向上；在水平方向上，解得

三、计算题

1．一振幅为10cm，波长为200cm的一维余弦波。沿x轴正向传播，波速为100cm／s，在t＝0时原点处质点在平衡位置向正位移方向运动。求

（1）原点处质点的振动方程。

（2）在x＝150cm处质点的振动方程。[华南理工大学2011研]

解：（1）设波动方程为：，由已知条件可知，

，，。

则对于原点O的振动方程为：

t＝0时刻原点的位移为

t＝0时刻原点O的速度为：

由题意可知

所以

故波动方程为：

原点位置处的振动方程为：

（2）当时，振动方程为：

2．如图10-4所示，一简谐波向x轴正向传播，波速u＝500m/s，x₀＝1m，P点的振动方

（1）按图所示坐标系，写出相应的波的表达式；

（2）在图上画出t＝0时刻的波形曲线。[华南理工大学2009研]

图10-4

解：（1）∵x₀＝1m，P点的振动方程为

∴相应波的表达式为:

（2）由题知，波长 ，

令得，零时刻波形为：，其波形如下：

图10-5

3．如图10-6所示，已知一平面余弦波振幅A＝0.05m，波速v＝3ms^－1，周期T＝1s，若波源O距反射面B的距离为L＝3m，OC＝L/3，波源的初相位为零，求：

（1）反射波方程；

（2）与原点O相距x的P点处的合成波方程；

（3）与原点相距x＝1m处C点的振动方程。[南京航空航天大学2007研]

图10-6

解：（1）如图10-6所示，建立坐标系；则入射波方程为：

设反射波方程为：

在反射面B点有：

解得：

所以反射波的波动方程为：

（2）合成的波的波动方程为：

（3）C点的振动方程为：