第3章　随机过程［视频讲解］

3.1　本章要点详解

本章要点

■随机过程的基本概念

■平稳随机过程

■高斯随机过程

■平稳随机过程通过线性系统

■窄带随机过程

■正弦波加窄带高斯噪声

■高斯白噪声和带限白噪声

重难点导学

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一、随机过程的基本概念

设S_k(k＝1, 2, …)是随机试验。每一次试验都有一条时间波形(称为样本函数)，记作x_i(t)，所有可能出现的结果的总体{x₁(t), x₂(t)，…, x_n(t)，…}构成一随机过程，记作ξ(t)。假定有n个性能完全相同的接收机，每台接收机的输出信号就是一个样本x_i(t)。无穷多个样本函数的总体叫做随机过程。

可以从两个角度来说明：

（1）把随机过程看成是所有样本函数的集合；

（2）把随机过程看作是在时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合。

1．随机过程的分布函数和概率密度

（1）随机过程的分布函数

随机过程在任一时刻的取值是随机变量，则随机变量的取值小于等于某一数值的概率称为一维概率分布函数，即

推广到n维概率分布函数为

（2）随机过程的概率密度函数

若分布函数的导数存在，则其导数即的一维概率密度函数

的n维概率密度函数为

2．随机过程的数字特征

（1）均值（数学期望）

随机过程的数学期望是时间t的函数，表示随机过程在某时刻的摆动中心（平均值）。

（2）方差

随机过程的方差也记为，表示随机过程在某时刻的取值（随机变量）对该时刻的期望的偏离程度。

（3）自相关函数和协方差

①随机过程自相关函数为

表示随机过程在两个时刻的取值的关联程度，变化越平缓，两个时刻取值的相关性越大，R值越大。

②随机过程协方差为

表示随机过程在两个时刻间的线性依从关系。

③随机过程相关函数和协方差函数的关系为

常用协方差函数B(t_l，t₂)和自相关函数R(t_l，t₂)来衡量随机过程任意两个时刻上获得的随机变量的统计相关特性，即自相关函数和协方差函数是衡量同一过程的相关程度的。

（4）互相关函数

设和分别表示两个随机过程，则互相关函数为

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二、平稳随机过程

1．狭义平稳（严平稳）

（1）定义

若一个随机过程x(t)的任何n维分布函数或概率密度函数与时间起点无关，也就是说对于任意的正整数n和任意实数t₁，t₂，…t_n，随机过程的n维概率密度函数满足

则称这个随机过程是狭义平稳的(也称严平稳)。

（2）性质

平稳随机过程的统计特性不随时间的推移而改变，即

①一维分布与无关：；

②二维分布只与有关：。

③严平稳的数字特征

由此可见，严平稳随机过程的数字特征满足：

a．其均值与t无关，为常数a；

b．自相关函数只与时间间隔t有关。

2．广义平稳

若一个随机过程的数学期望与时间无关，而其相关函数仅与时间间隔τ相关，称这个随机过程是广义平稳的(也称宽平稳)，即

狭义平稳一定是广义平稳，反之不一定成立。

3．各态历经性

许多平稳随机过程的数字特征完全可由随机过程中的任一实现（样本）的数字特征来决定，即从随机过程中得到的任一实现，可视为其经历了随机过程的所有可能状态。通过这一性质，随机过程的数学期望可以由任一实现的时间平均值来代替；随机过程的各种统计平均（均值或自相关函数等）也可由“时间平均”代替“统计平均”。

若平稳随机过程使下式成立

则称该平稳随机过程具有各态历经性。具有各态历经性的随机过程一定是平稳过程，反之不一定。

4．平稳随机过程的自相关函数

设为实平稳随机过程，其自相关函数为

自相关函数的性质：

（1）— x(t)的平均功率；

（2）—t的偶函数；

（3）—R(t)的上界；

（4）—x(t)的直流功率；

（5）—x(t)的交流功率。

5．平稳随机过程的功率谱密度

（1）定义

（2）维纳-辛钦关系

平稳随机过程的自相关函数和功率谱密度之间互为傅立叶变换关系，即维纳-辛钦关系

它是联系频域和时域两种分析方法的基本关系式。由此可知：

①当时，对PSD进行积分则可得到平稳过程的总功率：；

②各态历经过程的任一样本的PSD等于过程的PSD；

③PSD具有非负性和实偶性：，。

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三、高斯随机过程

1．定义

如果随机过程的任何n维(n＝1，2，...)分布函数均服从正态分布，则称它为正态过程或高斯过程。

2．性质

（1）高斯过程的n维分布仅由各随机变量的均值、方差和两两间的协方差函数决定。

（2）高斯过程若是宽平稳的，则它也是严平稳的。

（3）高斯过程不同时刻的取值若互不相关，则彼此独立。

（4）高斯过程经过线性系统后仍是高斯过程。

3．高斯随机变量

（1）定义

高斯过程在任一时刻上的取值是一个正态分布的随机变量，也称高斯随机变量。

（2）一维正态分布的概率密度函数

①定义

其中，a为均值，σ为方差，如图3-1所示。

图3-1  正态分布的概率密度

②性质

a．f(x)对称于x＝a,即f(x＋a)＝f(x－a)。

b．f(x)在(-∞,a)内单调上升，在(a,∞)内单调下降，且在a点处取得最大值，a变化f(x)左右平移，σ变化，f(x)高矮、宽窄变化。

c．。

标准正态分布：若a＝0，σ＝1，则称这种正态分布为标准正态分布，此时

③用互补误差函数erfc(x)表示正态分布函数

　 ④用Q函数表示正态分布函数

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四、平稳随机过程通过线性系统

随机过程通过线性系统，则输出随机过程等于输入随机过程与的卷积，即

图3-2  随机过程通过线性系统

若是平稳随机过程，则有：

（1）均值

为线性系统的直流增益，。

（2）自相关函数

与时间起点无关，仅是时间间隔t的函数。若线性系统的输入过程是平稳的，那么输出过程也是平稳的。

（3）功率谱密度

当需求输出过程的自相关函数时，可利用上式先求，然后求其傅里叶反变换，这比直接计算要简单得多。

（4）概率分布

若是高斯型的，经过线性系统后的也是高斯型的（数字特征可能不同）。

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五、窄带随机过程

若随机过程的功率谱密度集中在中心频率附近相对窄的频率范围内，即满足条件，且远离零频率，则称为窄带随机过程。一个典型的窄带随机过程的频谱密度和波形如图3-3所示。

图3-3  窄带随机过程的频谱密度和波形示意图

1．表示形式

窄带随机过程的表达式为

即可表示为

其中，a_x(t)为信号的包络；为信号的相位；为窄带信号的中心频率（载频），为同相分量；为正交分量。

窄带随机过程的包络和相位以及同相分量和正交分量都是随机缓慢变化的过程，均属于低通型过程。

2．和的统计特性

若窄带过程是均值为0的平稳随机过程，则和是也平稳的，且均值为0；、、的平均功率（方差）相同，为；同时刻、互相独立，不相关。

3．和的统计特性

一个均值为0，方差为的窄带平稳高斯随机过程，其包络的一维分布是瑞利分布，相位的一维分布是均匀分布，并且就一维分布而言，与是统计独立的。即

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六、正弦波加窄带高斯噪声

1．正弦波加窄带高斯噪声的混合信号表示式

信号表达式为

包络为

  相位为

2．正弦波加窄带高斯噪声的包络的统计特性

包络服从广义瑞利分布，又称莱斯分布，其概率密度为

其中，为0阶修正贝塞尔函数。当信噪比时，它退化为瑞利分布，当信噪比很大时，它趋于高斯分布。