2.2　配套考研真题解析

计算题

随机信号X（t）＝Acos（t－θ），已知随机变量A统计特性为N（1，1），θ是（－π，π）内均匀分布的随机变量，且A与θ统计独立。

（1）判断X（t）广义平稳性并给出证明；

（2）计算X（t）的协方差函数及相关系数；

（3）计算x（t）的平均功率及功率谱密度。[北京交通大学2007研]

解：（1）因为随机变量A的统计特性为N（1，1），所以

E（A）＝1，D（A）＝1

又因为

D（A）＝E[A²]－E²[A]

所以

E[A²]＝D（A）＋E²[A]＝1＋1²＝2

由于均值为

自相关函数为

由于

所以x（τ）的均值为0，自相关函数仅与时间差τ有关，即x（t）为平稳随机过程。

（2）协方差函数为

因为

 

自相关系数为

（3）x（t）的平均功率为

自相关系数与其功率谱密度互为傅里叶变换，即,而R（τ）＝cos（ω_oτ），所以功率谱密度为