第三节　动力学

单项选择题（下列选项中，只有一项符合题意）

1重10N的物块沿水平面滑行4m，如果摩擦系数是0.3，则重力及摩擦力各做的功是（　　）。[2018年真题]

A．40N·m，40N·m

B．0，40N·m

C．0，12N·m

D．40N·m，12N·m

【答案】C

【解析】重力方向没有位移，所以重力做功为零；摩擦力做功为W＝f·s＝μmg·s＝0.3×10×4＝12N·m。

2如图4-3-1示均质圆轮，质量m，半径R，由挂在绳上的重为W的物块使其绕质心轴O转动。设重物的速度为v，不计绳重，则系统动量、动能的大小是（　　）。[2017年真题]

图4-3-1

A．Wv/g；

B．mv；

C．Wv/g＋mv；

D．Wv/g－mv；

【答案】A

【解析】动量是指：物体的质量与其速度的乘积，即mv，是物体机械运动强弱的一种度量。故系统的动量为：Wv/g。动能是指：由于物体运动而具有的能量。对于平移刚体动能为：T＝mv²/2；对于转动刚体动能为：T＝J_Z·ω²/2。故系统的动能为：

整理得：

其中，薄圆盘绕圆心的转动惯量为：J＝mR²/2。

3如图4-3-2所示质点受弹簧力作用而运动，l₀为弹簧自然长度，k为弹簧刚度系数，质点由位置1到位置2和由位置3到位置2弹簧力所做的功为（　　）。[2016年真题]

图4-3-2

A．W₁₂＝－1.96J，W₃₂＝1.176J

B．W₁₂＝1.96J，W₃₂＝1.176J

C．W₁₂＝1.96J，W₃₂＝－1.176J

D．W₁₂＝－1.96J，W₃₂＝－1.176J

【答案】C

【解析】弹簧做正功，弹性势能减小；弹簧做负功，弹性势能增大。质点由位置1到位置2，弹簧伸长量减小，弹性势能减小，弹簧做正功，大小为：kx₁²/2－kx₂²/2＝1960×0.06²/2－1960×0.04²/2＝1.96J。位置3到位置2，弹性势能增加，弹簧做负功，大小为：kx₃²/2－kx₂²/2＝1960×0.02²/2－1960×0.04²/2＝－1.176J。

4图4-3-3所示均质链条传动机构的大齿轮以角速度ω转动，已知大齿轮半径为R，质量为m₁，小齿轮半径为r，质量为m₂，链条质量不计，则此系统的动量为（　　）。[2014年真题]

图4-3-3

A．（m₁＋2m₂）v（→）

B．（m₁＋m₂）v（→）

C．（2m₂－m₁）v（→）

D．0

【答案】D

【解析】动量是指物体的质量与其运动速度的乘积，是物体机械运动强弱的一种度量。本题中，两齿轮质心速度v_C＝0，故系统动量为0。

5图4-3-4所示均质圆轮，质量为m，半径为r，在铅垂面内绕通过圆盘中心O的水平轴以匀角速度ω转动。则系统动量、对中心O的动量矩、动能的大小分别为（　　）。[2011年真题]

图4-3-4

A．0；mr²ω/2；mr²ω²/4

B．mrω；mr²ω/2；mr²ω²/4

C．0；mr²ω/2；mr²ω²/2

D．0；mr²ω/4；mr²ω²/4

【答案】A

【解析】动量是物体的质量与其速度的乘积，对于质点来说，p＝mv；对于质点系来说，p＝∑m_iv_i；对于该转动系统来说，圆轮质心速度v_C＝0，故系统动量为0。转动刚体的动量矩是刚体转动惯量与角速度的乘积，即L_O＝J_Oω＝mr²/2·ω。转动刚体的动能是刚体的转动惯量与角速度的平方乘积的一半，即T＝J_Oω²/2＝（1/2）·（1/2）mr²ω²＝（1/4）mr²ω²。

6质量m₁与半径r均相同的三个均质滑轮，在绳端作用有力或挂有重物，如图4-3-5所示。已知均质滑轮的质量为m₁＝2kN·s²/m，重物的质量分别为m₂＝0.2kN·s²/m，m₃＝0.1kN·s²/m，重力加速度按g＝10m/s²计算，则各轮转动的角加速度α间的关系是（　　）。[2018年真题]

图4-3-5

A．α₁＝α₃＞α₂

B．α₁＜α₂＜α₃

C．α₁＞α₃＞α₂

D．α₁≠α₂＝α₃

【答案】C

【解析】根据动量矩定理，列出每个图对滑轮中心的动量矩方程：d（Jω₁）/dt＝1×r，d[Jω₂＋（m₂＋m₃）v₂r]/dt＝（m₂－m₃）gr，d（Jω₃＋m₃v₃r）/dt＝m₃gr。式中，J＝m₁r²/2，v_i＝ω_ir，dω_i/dt＝α_i，i＝1，2，3。

解得：

所以：

7如图4-3-6所示圆环以角速度ω绕铅直轴AC自由转动，圆环的半径为R，对转轴的转动惯量为I；在圆环中的A点放一质量为m的小球，设由于微小的干扰，小球离开A点。忽略一切摩擦，则当小球达到B点时，圆环的角速度是（　　）。[2016年真题]

图4-3-6

A．mR²ω/（I＋mR²）

B．Iω/（I＋mR²）

C．ω

D．2Iω/（I＋mR²）

【答案】B

【解析】系统初始总动量为Iω，小球达到B点稳定后的系统总动量为（I＋mR²）ω_B。根据动量守恒原理，有：（I＋mR²）ω_B＝Iω，解得：ω_B＝Iω/（I＋mR²）。

8均质细杆AB重P、长2L，A端铰支，B端用绳系住，处于水平位置，如图4-3-7所示。当B端绳突然剪断瞬时，AB杆的角加速度的大小为（　　）。[2011年真题]

图4-3-7

A．0

B．3g/4L

C．3g/2L

D．6g/L

【答案】B

【解析】对于定轴转动刚体，动量矩定理公式为：

由题可得：

J_z＝m（2L）²/12＋mL²＝4mL²/3，故得：α＝3g/4L。

9均质圆柱体半径为R，质量为m，绕关于对墙面垂直的固定水平轴自由转动，初瞬时静止（G在O轴的铅垂线上），如图4-3-8所示，则圆柱体在位置θ＝90°时的角速度是（　　）。[2014年真题]

图4-3-8

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】根据动能定理，mgR＝（1/2）·J_O·ω²。其中，J_O＝（1/2）mR²＋mR²＝（3/2）mR²，代入可解得：

10A块与B块叠放如图4-3-9所示，各接触面处均考虑摩擦。当B块受力F作用沿水平面运动时，A块仍静止于B块上，于是（　　）。[2013年真题]

图4-3-9

A．各接触面处的摩擦力都作负功

B．各接触面处的摩擦力都作正功

C．A块上的摩擦力作正功

D．B块上的摩擦力作正功

【答案】C

【解析】力所做的功等于力与沿力的作用方向上位移的乘积，A物块上的摩擦力与A物块的运动方向相同，B物块上的摩擦力与B物块的运动方向相反。可见，A与B之间的摩擦力做正功，B与地面之间的摩擦力做负功。

11如图4-3-10所示，汽车重2800N，并以匀速10m/s的行驶速度，撞入刚性洼地，此路的曲率半径是5m，取g＝10m/s²。则在此处地面给汽车的约束力大小为（　　）。[2017年真题]

图4-3-10

A．5600N

B．2800N

C．3360N

D．8400N

【答案】D

【解析】地面给汽车的约束力为重力与离心力反力之和。其中，离心力F_N＝ma_n，a_n＝v²/r。因此F＝G＋mv²/r＝G＋（G/g）（v²/r）＝2800＋（2800/10）×（10²/5）＝8400N。

12质量为m，长为2l的均质杆初始位于水平位置，如图4-3-11所示，A端脱落后，杆绕轴B转动，当杆转到铅垂位置时，AB杆B处的约束力大小为（　　）。[2010年真题]

图4-3-11

A．F_Bx＝0；F_By＝0

B．F_Bx＝0；F_By＝mg/4

C．F_Bx＝l；F_By＝mg

D．F_Bx＝0；F_By＝5mg/2

【答案】D

【解析】根据机械能守恒定律，mgl＝Jω²/2，J＝[m（2l）²]/3，得ω²＝3g/2l。则到达铅垂位置时向心加速度为：lω²＝3g/2。根据达朗贝尔原理，F_By＝mg＋mlω²＝5mg/2，又水平方向合力为零，得F_Bx＝0。

13均质细杆OA，质量为m，长l。在如图4-3-12所示水平位置静止释放，释放瞬时轴承O施加于杆OA的附加动反力为（　　）。[2018年真题]

图4-3-12

A．3mg（↑）

B．3mg（↓）

C．3mg/4（↑）

D．3mg/4（↓）

【答案】C

【解析】设该瞬时杆质心的加速度为a，方向向下。则该均质细杆惯性力F_IO＝ma，方向向上。向O点简化，则O点虚加向上的惯性力F_IO＝ma，虚加逆时针惯性力偶M_IO＝J_Oα＝（ml²/3）·[a/（l/2）]＝2mla/3。根据动静法对O点取矩，由∑M_O（F）＝0，mgl/2－M_IO＝0，解得a＝3g/4。因此，轴承O加于杆OA的附加动反力F_IO＝ma＝3mg/4（↑）。

14如图4-3-13示均质圆轮，质量为m，半径为r，在铅垂平面内绕通过圆盘中心O的水平轴转动，角速度为ω，角加速度为ε，此时将圆轮的惯性力系向O点简化，其惯性力主矢和惯性力主矩的大小分别为（　　）。[2010年真题]

图4-3-13

A．0，0

B．mrε，mr²ε/2

C．0，mr²ε/2

D．0，mr²ε/4

【答案】C

【解析】根据定轴转动刚体惯性力系的简化结果，上述圆盘的惯性力系可简化为作用于质心的一个力F_Ⅰ和一力偶矩为M_IC的力偶，且F_I＝－ma，M_IO＝－J_Oα。其中，a＝0；J_O＝mr²/2；α＝ε。因此，惯性力主矢F_I＝0，惯性力主矩M_IO＝mr²ε/2。

15质量不计的水平细杆AB长为L，在铅垂平面内绕A轴转动，其另一端固连质量为m的质点B，在图4-3-14所示水平位置静止释放，则此瞬时质点B的惯性力为（　　）。[2014年真题]

图4-3-14

A．F_g＝mg

B．

C．0

D．

【答案】A

【解析】设该瞬时杆质心的加速度为a，方向向下。则该质点惯性力F_IO＝ma，方向向上。向A点简化，则A点虚加向上的惯性力F_IO＝ma，虚加逆时针惯性力偶M_IO＝J_Oα＝（mL²）·[a/L]＝maL。根据动静法对A点取矩，由∑M_A（F）＝0，mgL－M_IO＝0，解得a＝g。则此瞬时质点B的惯性力为：F_IO＝ma＝mg，方向向上。

16质量为m，半径为R的均质圆轮，绕垂直于图面的水平轴O转动，其角速度为ω。在图4-3-15所示瞬时，角加速度为0，轮心C在其最低位置，此时将圆轮的惯性力系向O点简化，其惯性力主矢和惯性力主矩的大小分别为（　　）。[2013年真题]

图4-3-15

A．，0

B．mRω²，0

C．0，0

D．0，

【答案】A

【解析】因角加速度为0，故质心处无切向加速度，法向加速度大小为Rω²/2，故惯性力大小为mRω²/2，方向竖直向下，作用线通过O点。所以惯性力主矢大小为mRω²/2，主矩为零。

17质量为m的物块A，置于与水平面成θ角的斜面B上，如图4-3-16所示。A与B间的摩擦系数为f，为保持A与B一起以加速度a水平向右运动，则所需的加速度a至少是（　　）。[2013年真题]

图4-3-16

A．a＝g（fcosθ＋sinθ）/（cosθ＋fsinθ）

B．a＝gfcosθ/（cosθ＋fsinθ）

C．a＝g（fcosθ－sinθ）/（cosθ＋fsinθ）

D．a＝gfsinθ/（cosθ＋fsinθ）

【答案】C

【解析】A受到沿斜面向上的静摩擦力以提供水平向右的加速度。利用达朗贝尔原理，给A施加向左的惯性力。根据动静法，对A进行受力分析：

又F_f＝fF_N，代入上述公式，mgsinθ＋macosθ＝f（mgcosθ－masinθ），解得：a＝g（fcosθ－sinθ）/（cosθ＋fsinθ）。

18图4-3-17所示质量为m、长为l的均质杆OA绕O轴在铅垂平面内作定轴转动。已知某瞬时杆的角速度为ω，角加速度为α，则杆惯性力系合力的大小为（　　）。[2012年真题]

图4-3-17

A．

B．

C．lmα/2

D．lmω²/2

【答案】B

【解析】惯性力系的合力大小F₁＝ma_C，而质心C有切向加速度和法向加速度。故

又有a_n＝lω²/2，a_τ＝lα/2。故

19均质细杆AB重P，长2L，A端铰支，B端用绳系住，处于水平位置，如图4-3-18所示。当B端绳突然剪断瞬时，AB杆的角加速度大小为3g/4L，则A处约束力大小为（　　）。[2009年真题]

A．F_Ax＝0；F_Ay＝0

B．F_Ax＝0；F_Ay＝P/4

C．F_Ax＝0；F_Ay＝3P/4

D．F_Ax＝0；F_Ay＝P

图4-3-18

【答案】B

【解析】受力图如图4-3-19所示，图中C为质心。对杆AB进行运动分析如下：当B端绳突然剪断瞬时，ω＝0，所以a_Cn＝lω²＝0，a_C＝a_Cτ＝lα＝3g/4。对杆AB进行受力分析如下：杆AB受重力P、约束反力F_Ax和F_Ay，惯性力主矢F₁＝ma_C，方向与a_C相反，惯性力主矩M_IA＝J_Aα与α相反。由动静法平衡方程∑F_y＝0，F_Ay＋F₁－P＝0，解得：F_Ay＝P－F₁＝P－3mg/4＝P/4，由∑F_x＝0，得F_Ax＝0。

图4-3-19

20图4-3-20所示两系统均做自由振动，其固有圆频率分别为（　　）。[2018年真题]

图4-3-20

A．，

B．，

C．，

D．，

【答案】D

【解析】设图（a）斜面倾角为α，平衡状态下弹簧变形为δ_st，由kδ_st＝mgsinα，解得：δ_st＝mgsinα/k。设物块沿斜面从平衡点向下运动x，此时加速度沿斜面向上，则惯性力F＝－md²x/dt²沿斜面向下，列出物块沿截面的运动微分方程为：－md²x/dt²＋mgsinα＝k（δ＋x），化简得：md²x/dt²＋kx＝0，即物块运动微分方程与倾角α无关。故图（a）固有圆频率为：

对于图（b），两弹簧串联的等效刚度为1/（1/k＋1/k）＝k/2，其固有圆频率为：

21重为W的质点，由长为l的绳子连接，如图4-3-21所示，则单摆运动的固有圆频率为（　　）。[2017年真题]

图4-3-21

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】固有圆频率是指2π秒内的振动次数。周期是指：振动一次所需要的时间。单摆周期公式为：

式中，l为摆长；g为当地重力加速度。故单摆运动的固有圆频率为：

225kg质量块振动，其自由振动规律是x＝Xsinω_nt，如果振动的圆频率为30rad/s，则此系统的刚度系数为（　　）。[2016年真题]

A．2500N/m

B．4500N/m

C．180N/m

D．150N/m

【答案】B

【解析】自由振动的圆频率计算公式为：

故刚度系数为：k＝mω²＝5×900＝4500N/m。

23图4-3-22所示系统中，当物块振动的频率比为1.27时，k的值是（　　）。[2014年真题]

图4-3-22

A．1×10⁵N/m

B．2×10⁵N/m

C．1×10⁴N/m

D．1.5×10⁵N/m

【答案】A

【解析】已知频率比ω/ω₀＝1.27，且ω＝40rad/s，

所以k＝（40/1.27）²×100＝9.9×10⁴N/m≈1×10⁵N/m。

24质量为110kg的机器固定在刚度为2×10⁶N/m的弹性基础上，当系统发生共振时，机器的工作频率为（　　）。[2013年真题]

A．66.7rad/s

B．95.3rad/s

C．42.6rad/s

D．134.8rad/s

【答案】D

【解析】共振时，机器的工作频率与固有频率相等，振幅最大。因此，根据固有频率公式可计算工作频率为：

25已知单自由度系统振动的固有频率ω₀＝2rad/s，若在其上分别作用幅值相同而频率为ω₁＝1rad/s、ω₂＝2rad/s、ω₃＝3rad/s的简谐干扰力，则此系统强迫振动的振幅为（　　）。[2012年真题]

A．ω₁＝1rad/s时振幅最大

B．ω₂＝2rad/s时振幅最大

C．ω₃＝3rad/s振幅最大

D．不能确定

【答案】B

【解析】根据共振原理，当干扰力的频率等于固有频率ω₀时，系统发生共振，此时振幅最大。因此，当ω₂＝2rad/s时，振幅最大。

26图4-3-23所示装置中，已知质量m＝200kg，弹簧刚度k＝100N/cm，则图中各装置的振动周期为（　　）。[2011年真题]

图4-3-23

A．图（a）装置振动周期最大

B．图（b）装置振动周期最大

C．图（c）装置振动周期最大

D．三种装置振动周期相等

【答案】B

【解析】图（a）弹簧为并联，等效弹簧刚度为2k，则系统的固有频率为：

图（b）弹簧为串联，等效弹簧刚度为k·k/（k＋k）＝k/2，则系统的固有频率为：

图（c）弹簧为并联，等效弹簧刚度为3k，则系统的固有频率为：

装置周期T＝2π/ω，由于ω_b最小，故图（b）装置振动周期最大。

27如图4-3-24所示，一弹簧质量系统，置于光滑的斜面上，斜面的倾角α可以在0～90°间改变，则随α的增大系统振动的固有频率（　　）。[2009年真题]

图4-3-24

A．增大

B．减小

C．不变

D．不能确定

【答案】C

【解析】设平衡状态下弹簧变形为δ_st，由kδ_st＝mgsinα，解得δ_st＝mgsinα/k。设物块沿斜面从平衡点向下运动x，此时加速度沿斜面向上，则惯性力F＝－md²x/dt²沿斜面向下，列出物块沿截面的运动微分方程为：－md²x/dt²＋mgsinα＝k（δ＋x），化简得md²x/dt²＋kx＝0。因此，系统振动的固有频率只与自身固有的m和k有关，与倾角α无关。

28如图4-3-25所示，质量为m，半径为r的定滑轮O上绕有细绳。依靠摩擦使绳在轮上不打滑，并带动滑轮转动。绳之两端均系质量m的物块A与B。块B放置的光滑斜面倾角为α，0＜α＜π/2，假设定滑轮O的轴承光滑，当系统在两物块的重力作用下运动时，B与O间，A与O间的绳力F_T1和F_T2的大小有（　　）关系。

图4-3-25

A．F_T1＝F_T2

B．F_T1＜F_T2

C．F_T1＞F_T2

D．只依据已知条件则不能确定

【答案】B

【解析】在右侧物重力作用下，滑轮沿顺时针方向转动。根据动量矩定理，（F_T2－F_T1）r＝J_Oα＞0，故F_T1＜F_T2。

29如图4-3-26所示，重为P的小球系于细绳的一端，绳的另一端穿过光滑水平面上的小孔O，令小球在此水平面上沿半径为r的圆周作匀速运动，其速度为v₀。如果将绳下拉，使圆周的半径减小为r/2，则此时绳的拉力为（　　）。

图4-3-26

A．T＝2Pv₀²/（gr）

B．T＝8Pv₀²/（gr）

C．T＝Pv₀²/（gr）

D．T＝4Pv₀²/（gr）

【答案】B

【解析】小球关于转动中心O的动量矩守恒，即Pv₀r/g＝（Pv/g）·（r/2），由此可得v＝2v₀。于是小球的法向加速度为：

则绳的拉力为：T＝Pα_r/g＝8Pv₀²/（gr）。

30均质等厚零件，如图4-3-27所示，设单位面积的质量为ρ，大圆半径为R，挖去的小圆半径为r，两圆心的距离为a，则零件对过O点并垂直于零件平面的轴的转动惯量为（　　）。

图4-3-27

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】根据题中所给的条件，可得半径为R的大圆对O轴的转动惯量为：

由平行移轴定理可知，半径为r的小圆对O轴的转动惯量为：

由叠加法可得，零件对O轴的转动惯量为：

31在重量为P的均质圆柱体的中心O处铰接一重量也为P的直杆OA，此直杆的另一端A靠在斜面上，如图4-3-28所示，今使圆柱体做纯滚动，若某瞬时O点速度为v，则此瞬时系统的动能为（　　）。

图4-3-28

A．5Pv²/4g

B．3Pv²/4g

C．Pv²/g

D．2Pv²/g

【答案】A

【解析】杆的动能T₁＝Pv²/2g，圆柱的动能T₂＝mv_O²/2＋J_Oω²/2＝mv²/2＋（1/2）×（mr²/2）×v²/r²＝3Pv²/4g。因此，系统的动能为：T₁＋T₂＝5Pv²/4g。

32如图4-3-29所示，半径为R，质量为m的均质圆盘由铰支座和绳约束，铰O与质心C位于水平位置。当剪断绳的瞬时，圆盘的ω_O和α_O分别为______；当OC转至与水平成90°时圆盘的ω和α分别为______。（　　）

图4-3-29

A．ω_O＝0和α_O＝4g/3R；和α_O＝2g/3R

B．ω_O＝0和α_O＝2g/3R；和α＝0

C．ω_O＝0和α_O＝g/3R；和α＝0

D．ω_O＝0和α_O＝4g/3R；和α＝2g/3R

【答案】B

【解析】绳被剪断瞬间，圆盘尚未开始旋转，角速度ω_O＝0；虽然圆盘速度为零，但由于受到重力作用，圆盘有旋转的趋势，因此，角加速度不等于零。由Jα＝Fr，即3mR²α_O/2＝mgR，可得α_O＝2g/3R；当OC转至与水平成90°即铅垂位置时，根据机械能守恒，OC处于水平位置时的机械能等于OC处于铅垂位置时的机械能，于是有mgR＝Jω²/2，可得

而当OC转至铅垂位置时，圆盘在水平方向上不受力，因此加速度为零，角加速度α也为零。