第二节　微分学

单项选择题（下列选项中，只有一项符合题意）

1函数y＝sin（1/x）是定义域内的（　　）。[2017年真题]

A．有界函数

B．无界函数

C．单调函数

D．周期函数

【答案】A

【解析】因为－1≤sin（1/x）≤1，即函数y＝sin（1/x）是定义域内的有界函数。

2函数f（x）＝sin（x＋π/2＋π）在区间[－π，π]上的最小值点x₀等于（　　）。[2017年真题]

A．－π

B．0

C．π/2

D．π

【答案】B

【解析】对函数求导得f′（x）＝cos（x＋π/2＋π），令f′（x）＝cos（x＋π/2＋π）＝0，计算得x＋π/2＋π＝π/2±kπ，k＝0，1，2，得x＝±kπ－π，根据区间[－π，π]知：①当k＝0时，x＝－π，函数有最大值1；②当k＝1时，x只能取0，函数有最小值－1；③当k＝2时，x只能取π，函数有最大值1。综上，知最小值点x₀等于0。

3下列极限式中，能够使用洛必达法则求极限的是（　　）。[2016年真题]

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】求极限时，洛必达法则的使用条件有：①属于0/0型或者无穷/无穷型的未定式；②在变量所趋向的值的去心邻域内，分子和分母均可导；③分子分母求导后的商的极限存在或趋向于无穷大。A项属于1/0型，不符合条件；C项，分子在x＝0处的去心邻域处不可导，不符合条件；D项不符合条件③；则只有B项正确。

4下列等式中不成立的是（　　）。[2018年真题]

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】

A项，因为x→0，所以x²→0，所以利用上面重要极限的结论知

B项，极限

可化为

极限

为无穷小量；而|sinx|≤1，sinx为有界函数。因为有界函数与无穷小的乘积是无穷小，所以

C项，即为上面重要极限结论。

D项，因为x→∞，得1/x→0，所以利用重要极限知

5若

则常数k等于（　　）。[2014年真题]

A．－ln2

B．ln2

C．1

D．2

【答案】A

【解析】由

两边同时取自然对数，得：－k＝ln2，所以k＝－ln2。

6若

则必有（　　）。[2013年真题]

A．a＝1，b＝2

B．a＝1，b＝－2

C．a＝－1，b＝－1

D．a＝1，b＝1

【答案】C

【解析】因为

且分母为零，故

得2＋a＋b＝0，又由洛必达法则，有

解得：a＝－1。则b＝－1。

7设α（x）＝1－cosx，β（x）＝2x²，则当x→0时，下列结论中正确的是（　　）。[2012年真题]

A．α（x）与β（x）是等价无穷小

B．α（x）是β（x）的高阶无穷小

C．α（x）是β（x）的低阶无穷小

D．α（x）与β（x）是同阶无穷小但不是等价无穷小

【答案】D

【解析】因

或用洛必达法则

故α（x）与β（x）是同阶无穷小但不是等价无穷小。

8要使得函数

在（0，＋∞）上连续，则常数a等于（　　）。[2017年真题]

A．0

B．1

C．－1

D．2

【答案】C

【解析】函数在（0，＋∞）上连续，因此在x＝1处，有

即由洛必达法则，得

即a＝－1。

9点x＝0是函数y＝arctan（1/x）的（　　）。[2014年真题]

A．可去间断点

B．跳跃间断点

C．连续点

D．第二类间断点

【答案】B

【解析】第一类间断点的判别方法为：如果f（x）在点x₀处间断，且f（x₀^＋），f（x₀^－）都存在。其中，如果f（x₀^＋）≠f（x₀^－），则称点x₀为函数f（x）的跳跃间断点。本题中，因为y（0^＋）＝π/2，y（0^－）＝－π/2，y（0^＋）≠y（0^－），所以点x＝0是函数y＝arctan（1/x）的跳跃间断点。

10设

则x＝0是f（x）的下面哪一种情况？（　　）[2012年真题]

A．跳跃间断点

B．可去间断点

C．第二类间断点

D．连续点

【答案】D

【解析】函数在某一点处，左右极限相等且有定义，则函数在这一点处连续。函数的左右极限分别为：

由

得

f（0）＝（x²＋1）|_x＝0＝1

所以

即x＝0是f（x）的连续点。

11函数f（x）＝（x－x²）/sinπx的可去间断点的个数为（　　）。[2011年真题]

A．1个

B．2个

C．3个

D．无穷多个

【答案】B

【解析】函数分母不为零，分母为零的点有0，±1，±2，±3，……；分子为零的点有0，1。当x＝0，1时，有：

故f（x）有两个可去间断点0、1。

12若y＝y（x）由方程e^y＋xy＝e确定，则y′（0）等于（　　）。[2017年真题]

A．－y/e^y

B．－y/（x＋e^y）

C．0

D．－1/e

【答案】D

【解析】由方程e^y＋xy＝e可得，当x＝0时，y＝1。方程两边对x求导得e^yy′＋y＋xy′＝0，即y′＝－y/（x＋e^y），将x＝0，y＝1代入，则可得y′（0）＝－1/e。

13设函数f（x）在（a，b）内可微，且f′（x）≠0，则f（x）在（a，b）内（　　）。[2016年真题]

A．必有极大值

B．必有极小值

C．必无极值

D．不能确定有还是没有极值

【答案】C

【解析】可导函数极值判断：若函数f（x）在（a，c）上的导数大于零，在（c，b）上的导数小于零，则f（x）在c点处取得极大值；若函数f（x）在（a，c）上的导数小于零，在（c，b）上的导数大于零，则f（x）在c点处取得极小值。即可导函数极值点处，f′（x）＝0。函数f（x）在（a，b）内可微，则函数在（a，b）内可导且连续；又f′（x）≠0，则在（a，b）内必有f′（x）＞0或f′（x）＜0，即函数f（x）在（a，b）内单调递增或单调递减，必无极值。

14下列说法中正确的是（　　）。[2014年真题]

A．若f′（x₀）＝0，则f（x₀）必须是f（x）的极值

B．若f（x₀）是f（x）的极值，则f（x）在点x0处可导，且f′（x₀）＝0

C．若f（x₀）在点x₀处可导，则f′（x₀）＝0是f（x）在x₀取得极值的必要条件

D．若f（x₀）在点x₀处可导，则f′（x₀）＝0是f（x）在x₀取得极值的充分条件

【答案】C

【解析】当f（x₀）在点x₀处可导时，若f（x）在x₀处取得极值，则可知f′（x₀）＝0；若f′（x₀）＝0，而f′（x₀^＋）f′（x₀^－）≥0时，则f（x）在x₀处不能取得极值。因此，若f（x₀）在点x₀处可导，则f′（x₀）＝0是f（x）在x₀取得极值的必要条件。

15若f′（x₀）存在，则（　　）。[2018年真题]

A．f′（x₀）

B．－x₀f′（x₀）

C．f（x₀）－x₀f′（x₀）

D．x₀f′（x₀）

【答案】C

【解析】原式化简得

16设

则f（x）在点x＝1处（　　）。[2013年真题]

A．不连续

B．连续但左、右导数不存在

C．连续但不可导

D．可导

【答案】C

【解析】

即

故f（x）在x＝1处连续；

即f_－′（1）≠f_＋′（1），故不可导。

17下列函数在给定区间上不满足拉格朗日定理条件的是（　　）。[2012年真题]

A．f（x）＝x/（1＋x²），[－1，2]

B．f（x）＝x^2/3，[－1，1]

C．f（x）＝e^1/x，[1，2]

D．f（x）＝（x＋1）/x，[1，2]

【答案】B

【解析】在拉格朗日中值定理中，函数f（x）应满足：在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）上可导。f（x）＝x^2/3在[－1，1]连续。

在（－1，1）不可导（因为f′（x）在x＝0处导数不存在），所以不满足拉格朗日中值定理的条件。

18如果f（x）在x₀可导，g（x）在x₀不可导，则f（x）g（x）在x₀（　　）。[2011年真题]

A．可能可导也可能不可导

B．不可导

C．可导

D．连续

【答案】A

【解析】举例说明，令g（x）＝1/x，g（x）在x₀＝0处导数不存在，即不可导。令f（x）＝x，此时f（x）·g（x）＝1在x₀＝0处可导。令g（x）＝1/x，f（x）＝1，此时f（x）g（x）＝1/x在x₀＝0处不可导。

19设f（x）＝x（x－1）（x－2），则方程f′（x）＝0的实根个数是（　　）。[2016年真题]

A．3

B．2

C．1

D．0

【答案】B

【解析】先对方程求导，得：f′（x）＝3x²－6x＋2，再根据二元函数的判别式Δ＝b²－4ac＝12＞0，可知方程有两个实根。

20设

则f（π/2）等于（　　）。[2016年真题]

A．π/2

B．－2/π

C．2/π

D．0

【答案】B

【解析】将方程两边分别对x取一阶导数得：f（x）＝（－xsinx－cosx）/x²，故

21等于（　　）。[2014年真题]

A．1/（2x^3/2）

B．

C．

D．2/x

【答案】B

【解析】

22若

则dy/dx等于（　　）。[2013年真题]

A．－tant

B．tant

C．－sint

D．cott

【答案】A

【解析】dy/dx＝（dy/dt）/（dx/dt）＝－sint/cost＝－tant。

23设f（x）有连续的导数，则下列关系式中正确的是（　　）。[2013年真题]

A．∫f（x）dx＝f（x）

B．（∫f（x）dx）′＝f（x）

C．∫f′（x）dx＝f（x）dx

D．（∫f（x）dx）′＝f（x）＋C

【答案】B

【解析】∫f（x）dx＝F（x）＋C，∫f′（x）dx＝f（x）＋C，（∫f（x）dx）′＝f（x）。

24设y＝ln（cosx），则微分dy等于（　　）。[2012年真题]

A．dx/cosx

B．cotxdx

C．－tanxdx

D．－dx/（cosxsinx）

【答案】C

【解析】等式两边同时微分，得：dy＝f′（x）dx＝（－sinx）dx/cosx＝－tanxdx。

25f（x）的一个原函数为则f′（x）等于（　　）。[2012年真题]

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】由条件f（x）的一个原函数为，得

再由f（x）两边求导得：

26若x＝1是函数y＝2x²＋ax＋1的驻点，则常数a等于（　　）。[2018年真题]

A．2

B．－2

C．4

D．－4

【答案】D

【解析】函数y关于x求导，得y′＝4x＋a。因为x＝1是函数y＝2x²＋ax＋1的驻点，所以4×1＋a＝0，计算得a＝－4。

27曲线f（x）＝xe^－x的拐点是（　　）。[2017年真题]

A．（2，2e^－2）

B．（－2，－2e²）

C．（－1，－e）

D．（1，e^－1）

【答案】A

【解析】f（x）＝xe^－x，有f′（x）＝（1－x）e^－x，有f″（x）＝（x－2）e^－x，令f″（x）＝0，计算得x＝2，通过计算知，f″（x）在x＝2的左、右两侧邻近异号，又f（2）＝2e^－2，所以点（2，2e^－2）为曲线的拐点。

28函数f（x，y）在点P₀（x₀，y₀）处的一阶偏导数存在是该函数在此点可微分的（　　）。[2018年真题]

A．必要条件

B．充分条件

C．充分必要条件

D．既非充分条件也非必要条件

【答案】A

【解析】函数f（x，y）在P₀（x₀，y₀）可微，则f（x，y）在P₀（x₀，y₀）的偏导数一定存在。反之，偏导数存在不一定能推出函数在该点可微。举例如下：

函数

在点（0，0）处有f_x（0，0）＝0，f_y（0，0）＝0，但函数f（x，y）在（0，0）处不可微。因此，函数f（x，y）在点P₀（x₀，y₀）处的一阶偏导数存在是该函数在此点可微分的必要条件。

29设z＝yφ（x/y），其中φ（u）具有二阶连续导数，则∂²z/（∂x∂y）等于（　　）。[2017年真题]

A．（1/y）φ″（x/y）

B．（－x/y²）φ″（x/y）

C．1

D．φ′（x/y）－（x/y）φ″（x/y）

【答案】B

【解析】计算得

∂z/∂x＝y·φ′（x/y）·（1/y）＝φ′（x/y）

∂²z/∂x∂y＝－（x/y²）φ″（x/y）

30设函数z＝f（x²y），其中f（u）具有二阶导数，则∂²z/（∂x∂y）等于（　　）。[2018年真题]

A．f″（x²y）

B．f′（x²y）＋x²f″（x²y）

C．2x[f′（x²y）＋yf″（x²y）]

D．2x[f′（x²y）＋x²yf″（x²y）]

【答案】D

【解析】∂²z/（∂x∂y）是先关于x求导，再关于y求导，计算得

31设z＝3^xy/x＋xF（u），其中F（u）可微，且u＝y/x，则∂z/∂y等于（　　）。[2016年真题]

A．3^xy－yF′（u）/x

B．3^xyln3/x＋F′（u）

C．3^xy＋F′（u）

D．3^xyln3＋F′（u）

【答案】D

【解析】计算得

32设方程x²＋y²＋z²＝4z确定可微函数z＝z（x，y），则全微分dz等于（　　）。[2014年真题]

A．（ydx＋xdy）/（2－z）

B．（xdx＋ydy）/（2－z）

C．（dx＋dy）/（2＋z）

D．（dx－dy）/（2－z）

【答案】B

【解析】对等式两边分别同时求导，得：2xdx＋2ydy＋2zdz＝4dz。所以dz＝（xdx＋ydy）/（2－z）

33设则∂²z/∂x²等于（　　）。[2014年真题]

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】一次偏导为：

二次偏导为：

34设z＝z（x，y）是由方程xz－xy＋ln（xyz）＝0所确定的可微函数，则∂z/∂y等于（　　）。[2013年真题]

A．－xz/（xz＋1）

B．－x＋1/2

C．z（－xz＋y）/[x（xz＋1）]

D．z（xy－1）/[y（xz＋1）]

【答案】D

【解析】将xz－xy＋ln（xyz）＝0两边对y求偏导，得xz_y′－x＋x（z＋y·z_y′）/（xyz）＝0，整理得z_y′＝z（xy－1）/[y（xz＋1）]。

35若z＝f（x，y）和y＝φ（x）均可微，则dz/dx等于（　　）。[2013年真题]

A．∂f/∂x＋∂f/∂y

B．∂f/∂x＋（∂f/∂y）（dφ/dx）

C．（∂f/∂y）（dφ/dx）

D．∂f/∂x－（∂f/∂y）（dφ/dx）

【答案】B

【解析】dz/dx＝（∂f/∂x）（dx/dx）＋（∂f/∂y）（dφ/dx）＝∂f/∂x＋（∂f/∂y）（dφ/dx）。

36设f（x）为偶函数，g（x）为奇函数，则下列函数中为奇函数的是（　　）。[2018年真题]

A．f[g（x）]

B．f[f（x）]

C．g[f（x）]

D．g[g（x）]

【答案】D

【解析】D项，令T（x）＝g[g（x）]。因为T（－x）＝g[g（－x）]＝g[－g（x）]＝－g[g（x）]，所以T（－x）＝－T（x），所以g[g（x）]为奇函数。

37已知f（x）为连续的偶函数，则f（x）的原函数中（　　）。[2013年真题]

A．有奇函数

B．都是奇函数

C．都是偶函数

D．没有奇函数也没有偶函数

【答案】A

【解析】f（x）的原函数中有与f（x）的奇偶性相反的函数，但并不是所有偶函数f（x）的原函数都是奇函数。

38若f（－x）＝－f（x）（－∞＜x＜＋∞），且在（－∞，0）内f′（x）＞0，f″（x）＜0，则f（x）在（0，＋∞）内是（　　）。[2013年真题]

A．f′（x）＞0，f″（x）＜0

B．f′（x）＜0，f″（x）＞0

C．f′（x）＞0，f″（x）＞0

D．f′（x）＜0，f″（x）＜0

【答案】C

【解析】由f（－x）＝－f（x）（－∞＜x＜＋∞），知f（x）为奇函数，奇函数关于原点对称。根据奇函数图形，故在（0，＋∞）内，f′（x）＞0，f″（x）＞0。

39函数y＝（5－x）x^2/3的极值可疑点的个数是（　　）。[2013年真题]

A．0

B．1

C．2

D．3

【答案】C

【解析】极值可疑点为导数不存在或者导数为零的点。函数求导y′＝5x^－1/3（2－x）/3，可见函数在x＝0处导数不存在，在x＝2处导数为零，所以有两个极值可疑点。

40设函数f（x），g（x）在[a，b]上均可导（a＜b），且恒正，若f′（x）g（x）＋f（x）g′（x）＞0，则当x∈（a，b）时，下列不等式中成立的是（　　）。[2018年真题]

A．f（x）/g（x）＞f（a）/g（b）

B．f（x）/g（x）＞f（b）/g（b）

C．f（x）g（x）＞f（a）g（a）

D．f（x）g（x）＞f（b）g（b）

【答案】C

【解析】因为[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）＋f（x）g′（x）＞0，所以函数f（x）g（x）在[a，b]上单调递增。所以，当x∈（a，b）时，f（a）g（a）＜f（x）g（x）＜f（b）g（b）。

41当a＜x＜b时，有f′（x）＞0，f″（x）＜0，则在区间（a，b）内，函数y＝f（x）的图形沿x轴正向是（　　）。[2012年真题]

A．单调减且凸的

B．单调减且凹的

C．单调增且凸的

D．单调增且凹的

【答案】C

【解析】由f′（x）＞0且f″（x）＜0可知，函数y＝f（x）的图形沿x轴正向是单调增且凸的。

42当x＞0时，下列不等式中正确的是（　　）。[2011年真题]

A．e^x＜1＋x

B．ln（1＋x）＞x

C．e^x＜ex

D．x＞sinx

【答案】D

【解析】上述函数，A项，当x＝1时，e＞2。B项，当x→＋∞时，显然x＞ln（1＋x）。C项，当x→＋∞时，显然e^x＞ex。

43设f（x）＝（e^2x－1）/（e^2x＋1），则（　　）。[2010年真题]

A．f（x）为偶函数，值域为（－1，1）

B．f（x）为奇函数，值域为（－∞，0）

C．f（x）为奇函数，值域为（－1，1）

D．f（x）为奇函数，值域为（0，＋∞）

【答案】C

【解析】根据题意可得

所以f（x）为奇函数；由于f′（x）＝4e^2x/（e^2x＋1）²＞0，则f（x）在（－∞，＋∞）上为单调递增函数，且当x→－∞时，f（x）＝－1，当x→＋∞时，f（x）＝1，所以f（x）的值域为（－1，1）。