2.1.7　模糊集的距离与贴近度

研究清楚一个F集的数量指标后，我们开始引入两个F集间的关系。例如，如何去刻画两个F集间的相像程度呢，人们首先仿照两点间的距离公式给出了两个F集间的距离定义。

定义2.10　设A，B∈F（U），记

d_M（A，B）称为两个F集A与B的明科夫斯基（M inko w ski）距离。特别的，当p=1，2时的距离分别称为海明（Haming）距离和欧几里得（Euclid）距离，分别记为d_H（A，B）和d_E（A，B）。

例2.14　已知论域U={u₁，u₂，u₃}，A，B∈F（U），具体表示如下

求U上两个F集的d_H（A，B）和d_E（A，B）距离。

解：

在实际应用中经常用到“相对海明距离”、“加权海明距离”和“加权相对海明距离”等，它们的定义分别为

其中ω（u_i）（i=1，2，…，n）是加于元素u_i上的权重系数，一般都要求满足归一条件，即

例2.15　求例2.14中两个F集在权向量为ω=（1，1.8，0.2）下的δ（A，B），d_ω（A，B）和δ_ω（A，B）。

解：

注意：使用海明距离处理问题时，一定要对具体问题作具体分析，不能生搬硬套，否则有时得到的结论与实际情况不一致。比如选择人才，合格成绩是60分，现在有甲、乙两个人的成绩分别为58分和85分，将这些分数均除以100，作为隶属度，则两人的成绩与合格成绩间形成的海明距离分别为0.02和0.25，如果选取距离小的，则应该是甲，但事实上甲是不及格的，与实际情况不一致。

除了可以用距离来研究两个F集的相似程度外，人们还给出了一个新的概念，称之为贴近度。下面主要列举海明贴近度、欧几里得贴近度、黎曼贴近度和格贴近度。

定义2.11　设A，B，C∈F（U），若映射

N：F（U）×F（U）→[0，1]　　（2.31）

满足条件：

（1）N（A，B）=N（B，A）

（2）N（A，A）=1，N（U，）=0

（3）若A⊆B⊆C，则N（A，C）≤N（A，B）∧N（B，C）

则称N（A，B）为F集A与B的贴近度。N称为F（U）上的贴近度函数。

贴近度这个定义是原则性、公理化的概念，其具体规则视实际需要而定，为了满足应用上的需要，下面介绍几种常见的贴近度公式。

①海明贴近度

，U为有限论域

，U为R上的有限区间[a，b]

②欧几里得贴近度

，U为有限论域

，U为R上的有限区间[a，b]

③黎曼贴近度

若U为实数域，被积函数为黎曼可积，且广义积分收敛，则

④最大最小贴近度

⑤算数平均最小贴近度

⑥格贴近度

设A，B∈F（U），则

D_g（A，B）=（A°B）∧（A·B）c　　（2.32）

是F集A，B的贴近度，称为A，B的格贴近度。

其中，，分别称为F集A，B的内积与外积。

其余的贴近度不再一一列举。实际上这些贴近度很难一般化地比较优劣，只有在实际应用中加以选择和修正。

例2.16　设U=[0，100]，其上的两个F集为A，B，且有

见图2.4，求黎曼贴近度N₁（A，B）。

解：不难求得隶属函数A（u）与B（u）的交点坐标为u^*=50，于是

例2.17　设论域R为实数域，正态F集A，B的隶属函数分别为

，，σ₁，σ₂>0，见图2.5，求D_g（A，B）。

解：

对上述两个隶属函数，观察图2.5，设交点为a^*，有

若u≤a^*，B（u）≤A（u），则。

若u>a^*，A（u）≤B（u），则。

可见，内积A°B是A（u）与B（u）相等的值。故可令A（u）=B（u）求a^*。

由，求得，（舍去），选u₁=a^*。

可得。同理可得。

由格贴近度公式，得。

注意：当a₁=a₂时，D_g（A，B）=1，这表明格贴近度只是注重了两个F集的峰值点位置，并没有考虑到σ₁≠σ₂这一事实。

一般来说，贴近度主要应用于模糊模式识别领域，本部分内容只是对贴近度做概念和公式上的分析，其具体应用将在第5章详细讲解。