2.16 两点间最近的桥

[题] 如图2-30所示，在A、B两点之间有一条河岸大致平行的水渠，如果需要在这条水渠上建一座与两岸成直角的桥，而且要保证从A到B两点之间的距离最短，那么桥应该建在哪里呢？

图2-30 在哪里架桥，能使桥与两岸成直角，而且从A到B两点之间距离最短

[解] 如图2-31所示，在与河水流向垂直的方向上，经过A点画一条直线，并从A点出发画一条线段AC，它的长度与河流同宽，连接C和B，河流与河岸形成一个交点，也就是在D点，所以在D点架桥可以使A点到B点之间的距离最短。

图2-31 架桥位置

从D点出发，垂直于河岸建起桥DE后，如图2-32所示，将E点和A点连接起来，于是就可以看到AEDB就是所走的路径，这其中AEDC是一个平行四边形，AE和CD是相互平行的，相对两边AC和ED既是相等的，又是平行的。从路程的长度上来看，AEDB与ACB是相等的。假设我们对于这一条路是最短的有所怀疑，那么我们可以假设另一条线AMNB，如图2-33所示，假设它比之前的线段要短，也就是比ACB短，那么我们将CN连接起来后，此时CN和AM是相等的，那也就是AMNB等于ACNB，显而易见，CNB比CB要长，也就是常说的三角形的两边之和大于第三边，那么也就是ACNB比ACB长，所以自然也比AEDB长。

图2-32 架好的桥

图2-33 AEDB的路程确实最短

由此可见AMNB不但不比AEDB短，反而要比它更长。你还可以用这种证明方法尝试证明桥建在其他地方的情况，不过不管你如何证明，你会发现AEDB这条路都是最短的。