命题IV.10
可以作一个等腰三角形，两个底角皆等于顶角的两倍。
设：取任意线段AB，在C点被切分，那么AB与BC构成的矩形的面积等于CA为边的正方形的面积。以A为圆心，AB为半径作圆BDE，作圆内线段BD等于AC，AC不大于圆BDE的直径（命题II.11、V.1）。
令：连接AD、DC，在三角形ACD上作外接圆ACD（命题IV.5）。
那么因为：AB、BC构成的矩形的面积等于以AC为边的正方形，又AC等于BD。所以：AB、BC构成的矩形面积等于BD上的正方形面积。
又因为B点为圆ACD外的一点，从B点有两条线段BA、BD与圆ACD相遇，其中的一条穿过圆，另一条则落在圆上，又AB、BC构成的矩形的面积等于BD上的正方形的面积。所以：BD与圆ACD相切（命题II.37）。
因为：BD与之相切，DC是从D点延伸的穿过圆的线。所以：∠BDC等于相对弓形上的∠DAC（命题III.32）。
因为∠BDC等于∠DAC，令每个角加∠CDA，于是：大角∠BDA等于∠CDA与∠DAC的和。
又，外角∠BCD等于∠CDA与∠DAC之和，所以：∠BDA也等于∠BCD（命题I.32）。
又，∠BDA等于∠CBD，因为AD也等于AB，所以：∠DBA也等于∠BCD（命题I.5）。
所以：∠BDA、∠DBA和∠BCD彼此相等。
又因为∠DBC等于∠BCD。所以：边BD也等于边DC（命题I.6）。
又，BD等于CA，所以：CA也等于CD。所以：∠CDA也等于∠DAC。
毕达哥拉斯定理
在阿拉伯帝国的历史上，包括后来的伊儿汗国和更晚的帖木儿帝国，都曾先后出现过许多数学家。他们为阿拉伯数学的形成与发展作出了重大贡献。巴格达智慧宫的学者们掀起的著名的翻译运动，将古希腊的天文数学经典以及印度、中国的天算著作翻译成阿拉伯文，加上他们自身的创造，使得阿拉伯数学在算术与代数几何及三角领域取得了光辉的成就。图为阿拉伯教科书所讨论的毕达哥拉斯定理，其证明沿袭了欧几里得的“风车磨房”图表的几何证明手法。
所以：∠CDA与∠DAC之和等于∠DAC的两倍（命题I.5）。
又，∠BCD等于∠CDA与∠DAC之和，所以：∠BCD是∠CAD的两倍。
又，∠BCD等于∠BDA，也等于∠DBA。
所以：∠BDA、∠DBA也分别是∠DAB的两倍。
所以：可以作一个等腰三角形，两个底角皆等于顶角的两倍。
证完
注解
这一命题的目的是作一个36°—72°—72°的等腰三角形ABD，实际上是在给定的AB上作出，当AB被C点所切割时，第三边等于AB的较大的部分，因此，AB·BC＝AC2这一切割在命题II.11中已证明。
这一命题应用在下一命题中，以作圆的内接正五边形。