第2章 随机共振动力学研究预备知识

2.1 高斯噪声的定义和生成算法[1][2]

2.1.1 高斯白噪声的定义

随机过程X （t）是以t为参数的一族随机变量。若所有不同时刻上的随机变量均服从联合高斯分布，则称X （t）为高斯随机过程。高斯分布的随机变量可用概率密度函数或特征函数来定义。高斯随机过程也可用概率密度函数或特征函数来定义。高斯随机过程X（t）（t∈T）的一个定义可以用下述特征函数来表示：

式中，μX（t）与κXX（t1，t2）是X（t）的均值与协方差函数。

高斯随机过程的一阶概率密度为

二阶以上的概率密度与统计性质可用联合高斯分布随机变量中的公式得到。例如，二阶的概率密度为

式中，1μ=μX（t1），μ2=μX（t2），σ1=σX（t1），σ2=σX（t2），ρ=ρXX（t1，t2）。

若高斯随机过程是弱平稳的，则均值函数μX（t）为常数，协方差函数κXX（t1，t2）只依赖于时间差τ=t2-t1。高斯随机过程完全由均值函数和协方差函数确定，该强平稳过程也是弱平稳过程。

此外，随机过程B（t）若满足下列条件：①B（t）是高斯过程，②B（0）=0，③E[B（t）]=0，④E[B（t1）B（t2）]=σ2 min（t1，t2），则称随机过程B（t）为维纳过程，又称为布朗运动过程。式中，σ2称为维纳过程的强度。

对于高斯白噪声来说，，X（0）=0，W（t）是具有谱密度K的高斯白噪声，即满足E[W（t）]=0，E[W（t）W （t+τ）]=2πKδ（τ）。

按照维纳过程的定义，X （t）是维纳过程，可得。而维纳过程的强度σ2与高斯白噪声的谱密度之间的关系为σ2=2πK。维纳过程的导数与高斯白噪声W （t）的相关函数同为δ函数。

2.1.2 高斯白噪声的生成算法

高斯白噪声是高斯噪声中最常使用的一种，它的生成主要根据随机过程的模拟，按高斯随机过程的特性产生样本函数，其中最重要的特性就是功率谱密度与概率密度。在平稳和遍历过程激励下的系统，只要这个样本时间足够长，达到样本稳定生成，便可从样本中获得系统响应的统计量。

数学上理想白噪声W （t）在全频带上有常数谱密度，即ΦWW（w）=K，-∞＜w＜∞。因此，对小时间步长Δt，可将白噪声离散化为

式中，Ui是等同N（0，1）分布的随机变量序列，且对不同i，Ui独立，则有

考虑两个时刻ti与ti+τ，τ＞0。若τ≤Δt，ti+τ上随机变量可由W （ti）与W （ti+1 ）线性内插得到

而相关函数可按下式得到

对τ＞Δt，线性内插可在不同于[W（ti），W （ti+1 ）]的区间上进行，从而

相关函数则按下式得到

注意，式（2.7）与式（2.9）只适用于τ＞0的情况，相关函数为偶函数，则功率谱密度为

可见式（2.4）给出模拟过程的谱密度不是常数，但可证得

这表明，若ωΔt很小，则谱密度近似为常数。对固定值ωΔt，较小的Δt允许较大的ω，即较宽的频带。对于Δt=0.01情形，谱密度在一定宽度的频带上近似为常数。随Δt的增大，谱密度近似为常数的频带变窄。

事实上，理想白噪声并不存在，因为它的均方值为无穷大，意味着无穷大的能量。理想白噪声在模拟中也不能实现，因为式（2.4）中Δt必须取非零值。在用其模拟白噪声时，Δt是最重要的参数，较小的Δt导致在较宽的频带上谱密度为常数。在涉及振动系统时，模拟白噪声的带宽应比系统重要固有频率大得多。因此，Δt应比所有系统重要固有周期短得多。一般地，Δt应不大于系统最小固有周期的1/20。

可以试产生两个具有下列谱密度的高斯白噪声

考虑两个具有下列相关系数的等同N （0，1）分布的随机变量U和V

首先，产生两个相关随机变量序列Ui与Vi，对不同i保持Ui与Vi独立，且对i≠j，Ui与Vj独立。然后，两个白噪声过程可模拟如下