前言

一、此算与彼算：“出西学之算”、“西人之算”、“内地人之算”

19世纪60年代，中国自强运动兴起，洋务派认识到算学是西方自然科学和制造技术的基础学科，若要师法自强，必由算学入手。洋务派这种思想的重要来源之一就是冯桂芬（1809—1874年）的《校邠庐抗议》（1861年自序），这部中国近代史上重要的思想文献被认为是采西学、办洋务、谋自强思潮兴起的宣言书。该书是冯氏于咸丰十年（1860年）避难上海后所作，在书中他最早指出：“一切西学皆从算学出，西人十岁外无不学算。今欲采西学，自不可不学算。”冯氏这个判断，指出了西方科学与技术有其必须的数理基础，“学算”是“采西学”的必经之路。冯氏的见解后被李鸿章、奕等洋务派大员普遍接受，奉为“识时务者”的共识，“算学”被提升到关乎国计民生的高度，成为当时国策中的关键词和热词。如李鸿章就认为：“西人制器尚象之法，皆从算学出，如不通算学，即精熟西文亦难施之实用。”他在创办上海广方言馆之始（1863年）就规定：“凡肄业者，算学与西文并须逐日讲习，其余经史各类，随其资秉所近分习之。专习算学者，听从其便。”奕为在京师同文馆中增设天文算学馆而与倭仁、张盛藻等人展开了激烈的“天算之争”，同治六年（1867年）三月二日在奏折中称增设事宜是经过反复商讨之后郑重其事做出的决策，是“与曾国藩、李鸿章、左宗棠、英桂、郭嵩焘、蒋益澧等往返函商，佥谓制造巧法，必由算学入手，其议论皆精凿有据。左宗棠先行倡首，在闽省设立艺局、船厂，奏交前江西抚臣沈葆桢督办。臣等详加体察，此举实属有益，因而奏请开设天文算学馆，以为制造轮船各机器张本”。后来干脆直接指出“自强之道”就在于“推算格致之理，制器尚象之法，钩河摘洛之方”。

既已明确自强得“由算学入手”，那该怎样学呢？冯桂芬的答案是——“或师西人，或师内地人之知算者俱可。”

然而，这个“西人之算”或“内地人之算”是那个“出西学之算”吗？我们知道，当时的西方科学和技术是经过17、18世纪数学化之后发展起来的，翻译传入中国的很多科学著作表现出了世界的数学设计信念。“出西学之算”显然应该是近代欧洲数学，是经过牛顿、莱布尼兹以及贝努利家族、欧拉、达兰贝尔、拉格朗日、拉普拉斯等人发展之后的数学，应该包括微积分、常微分方程、偏微分方程、微分几何、变分法、无穷级数以及复变函数等数学分支。而“西人之算”则是冯氏当时接触到的西方数学，主要以墨海书馆刚出版不久的《代微积拾级》（1859年）、《代数学》（1859年）为代表的西方近代符号代数以及初等微积分。而“内地人之算”则要复杂些，可以理解为中国传统数学与传入的西方数学融合之后的数学，与“西人之算”有交集，但不包含。显然，这三种“算”之间有很大的差别，存在着“彼”与“此”的区别。冯氏的答案虽过于简单，但却代表了当时国人对数学特别是西方数学的看法和诉求，在特定的历史背景下，还会更显复杂、曲折。

这些实际上属于一个很重要的研究领域：西方数学在中国的传播抑或是国人（中算家）对西方数学的理解和吸收。自强运动时期国人对数学的诉求是这个研究领域中的一个突出的例子。

更长时间范围内，西方数学在中国的传播是西学东渐研究领域中最富有代表性的课题。自明末至清末的大约300年间，西方数学大规模地传入中国共有两次，一是在明末清初，一是在晚清。就其内容而言，不仅涉及常量数学，也涉及变量数学的某些方面，如解析几何、微积分等等。西方数学传入之后，国人的理解、吸收、研究、运用的过程以及伴随这一过程出现的成就与局限等诸方面的问题，是明末至清末中国数学史研究的重大课题之一。

对此300年中国数学史的探讨，近20年来的研究大体有两种模式，其一是“成就进展”的认识模式，如对某些数学家成就的研究、对清代中期的方程理论的研究，以及对清代中期幂级数展开式的研究等等。这类研究注重对所取得成就的探讨，从知识内容上，认为清代数学家取得了很大的成绩。其二是“近代化”的认识模式，注重西方数学的影响，认为清代数学逐渐走向近代化或“西化”。如韩琦的《西方数学的传入及其影响》，论述了明末至康熙时代传入的西方数学的影响，特别是对《数理精蕴》的编纂、内容来源以及影响都有深入的论述，对影响西方数学传播的因素从耶稣会士的科学素养、受众对科学的理解、康熙帝的作用以及社会因素等几个方面进行了论述。李兆华的《中国近代数学教育史稿》，抓住“晚清数学教育变革”这一体现晚清数学及其教育发展的主线，从晚清学校的数学教育变革、民间的数学传播以及数学教育制度的变革等几个方面论述了中国数学教育近代化的内容、特征及其过程。田淼的《中国数学的西化历程》，比较全面地梳理了从明末到清末300余年的西方数学在中国输入的历史，并选取代数学、三角学和中国传统的垛积术等三个数学分支作为个案，论述了中西数学的交汇、互动直至传统数学消融的过程。特古斯、尚利峰的《清代三角学的数理化历程》，论述了清代三角学的数理化历程，考察了古代有关知识及其发展变化，两次传入的三角知识与会通结果，认为第一次会通使得三角学独立于天文学，表现在概念的进化与方法的创新上；第二次会通由于代数化使得三角学独立于几何学，从三角级数论走向函数论。

跨文化的科学（数学）传播是一个很复杂的问题。纵观有清一代的数学发展，有些地方值得深思：一方面，清代数学家们被认为取得了一些很不错的成就；而另一方面，他们对传入的优势科学的吸收总是严重滞后，传入的西方数学不被理解，有的甚至受到误解和曲解。如《几何原本》（前六卷）汉译本在1607年就出版了，徐光启（1562—1633年）对其推崇可谓无以复加，发出“举世无一人不当学”的号召，期望“百年之后必人人习之”。差不多100年之后，梅文鼎（1633—1721年）学习《几何原本》，却得出了“勾股即几何”的会通结论，反倒是这个狭隘的结论影响了他之后100多年的几何观。及至晚清，类似的情形是，《代微积拾级》中微积分在1859年就传入，可直到50年之后才被国人吸收、理解。特别的，翻译该书的李善兰称微积分为“上乘功夫”，中法与西之古法因此可“尽废”，可他自己却没有多少练习这一“上乘功夫”的实践。再举一清代中期的例子。董祐诚（1791—1823年）可谓是清代中期关于幂级数展开研究的承前启后者，数学造诣很高，可他在探求椭圆周长时却出现了“很低级”的错误。这些案例实际上涉及明末至清末300年来数学史这一课题的两个方面：于数学家而言，他们取得了很高的成就；于传入的西学而言，有的引起的反响很大，有的反响很小，有的几乎没有什么影响，甚至是被歪曲。

二、研究对象与载体：清代的圆锥曲线

很多学者都曾关注清代数学史中这一情形，大都从文化背景、社会原因、传播者等原因进行探讨，成绩斐然。如关于清代数学家对《几何原本》和微积分吸收效果薄弱的原因探讨的著述，就有刘钝的《从徐光启到李善兰——以〈几何原本〉之完璧透视明清文化》，梅荣照、王渝生、刘钝的《欧几里得〈原本〉的传入和对我国明清数学发展的影响》，郭世荣的《清末数学家的微积分水平》，韩琦的《西方数学的传入及其影响》，李兆华的《中国近代数学教育史稿》《晚清算学课艺考察》，田淼的《中国数学的西化历程》，等等。

在此，本书关注的问题是：影响中算家对西方数学的理解程度与吸收效果的内在原因，这一方面的探讨在以往的研究涉及不多。为此，本书选取清代数学家对圆锥曲线的研究或者说圆锥曲线在清代的传播为案例对这一内因进行探讨。

圆锥曲线可以说是属于西方数学知识内容，可以从四个层面来看它：第一，在综合几何的背景下作为圆锥面与平面的截线，其内容在古希腊阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线论》中就已几近完备，这部经典也代表了古希腊演绎几何的最高成就；第二，在解析（坐标）几何的背景下作为代数方程表示的平面曲线，是承载和理解代数与几何结合思想的极佳载体，对理解函数和符号代数有很重要的示范作用；第三，作为二次曲线并与微积分联系成为数学分析的研究对象，是学习理解微积分的必要的知识基础；第四，在近代科学革命的背景下，圆锥三曲线还背负着不同寻常的天文、物理意义，如天体运行的轨迹、物体运动规律的描述，等等。

圆锥曲线知识在中国的输入可以说贯穿了整个清代，并且具有明显的递进性和阶段性，中算家对它的研究也相应地呈现出阶段性。西方数学的传播与中算家的理解、吸收，实际上是一个问题的两个方面。

综上所述，中算家的圆锥曲线说是考察西方数学在中国的传播情形的一个非常好的载体。具体而言，本书将结合两种认识模式，比较详细地讨论中算家对圆锥曲线的理解、吸收、运用以及他们成果表现出来的局限性，力图对影响中算家对西方数学的理解程度与吸收效果的内在原因作出回答。

就中算家的圆锥曲线说而言，本书关注以下一些问题：

哪些具体的圆锥曲线知识传入了中国？它们与中国传统数学发生怎样的融合？中算家们关注这个领域的哪些问题？他们以什么方法取得了什么样的成果？这些知识扩充了中国传统数学的研究领域的同时，它们对中算家的“几何观”有着什么样的影响，抑或说，中算家的“几何观”发生了什么样的变化？圆锥曲线知识与中算家的知识基础发生了怎样的互动？特别是，中算家是怎样理解、吸收圆锥曲线知识的？等等。

现对前人关于中算家的圆锥曲线说的研究工作简要介绍，具体的论述将在本书正文相应章节进行说明。

早在1947年，李俨先生的《中算家的圆锥曲线说》一文就梳理了明末清初圆锥曲线输入的大概脉络，并分析了项名达椭圆求周术的数理推导过程。这应该是最早关注圆锥曲线在中国的传播情形的一篇文章。

1984年，何绍庚的《椭圆求周术释义》一文对项名达的《椭圆求周术》进行详细的探讨，指出项名达椭圆求周术的4个主要步骤，并且在传统数学中找到项氏方法的来源，认为项氏的方法基础是：椭圆基本定理、二项式平方根幂级数展开式以及等分圆周时正矢各次幂求和公式。薄树人的《清代对开普勒方程的研究》一文，从天文学史的角度梳理了清代对开普勒方程的研究。若从数学角度而言，则是论述中算家对椭圆轨道问题的探究。刘钝的《别具一格的图解法弹道学——介绍李善兰的〈火器真诀〉》一文，分析李善兰对抛射运动知识建立的几何模型后认为《火器真诀》“是我国第一部具有精密科学意义的弹道学著作”。

1989年，牛亚华的硕士学位论文《明清时期对圆锥曲线的研究》比较详细地梳理了从明末清初到微积分、解析几何传入时圆锥曲线知识输入的过程及其主要内容，在史料的挖掘方面做了很重要的工作。在此基础上，文章论述了中算家对圆锥曲线的研究成果，如中算家的椭圆求周术、椭圆计算方面的成就以及李善兰和夏鸾翔对圆锥曲线的研究工作。此文侧重于成就的展示，对一些原始文献做了较好的数理解读。

20世纪90年代，有几篇文章关注了中算家对圆锥曲线的研究。刘钝的《夏鸾翔对圆锥曲线的综合研究》一文全面分析了夏鸾翔对圆锥曲线的综合研究，认为夏氏的《致曲图解》是“中国最早触及到近世综合几何学的研究成果”。李迪先生的《中国现代数学的先驱者周达》论述了周达在《平圆互容新义》中运用圆锥曲线解决比较复杂的平圆互切问题。牛亚华的《明末清初椭圆知识的传入及应用》一文比较详细梳理了明末清初圆锥曲线知识传入中国的情形，并指出这个时期是以椭圆知识为主。她的另一篇文章《项名达的椭圆求周术研究》指出何绍庚的《椭圆求周术释义》一文中解释的一些不妥之处，对项名达椭圆求周术的数理步骤重新进行梳理。冯立昇、牛亚华的《李善兰对椭圆及其应用问题的研究》对李善兰的《椭圆正术解》《椭圆新术》《椭圆拾遗》等三部著作作了比较全面的研究分析，论述李善兰在椭圆研究上的成就。

另外还有一些未正式公开出版的学位论文。洪万生的博士论文Li Shan-lan:The impact of Western mathematics in China during the 19th century中相关章节主要是参考了牛亚华的硕士论文讨论了李善兰对椭圆的研究。宋华的《夏鸾翔对微积分的学习与使用—— 〈万象一原〉内容分析》（其主要内容为宋华、白欣的《夏鸾翔的微积分水平评析》）对夏氏的《万象一原》中的数学公式用现代数学语言进行比较全面的整理，并对部分典型公式进行了数理分析，认为夏氏“把微积分和解析几何等新知识和当时中国数学研究的最前沿领域结合在了一起”，对“微积分方法的学习和应用还是比较好的”。

以上摘要介绍了前人对中算家的圆锥曲线说的主要研究工作，这些工作为进一步研究奠定了很好的基础。另外，有很多从西学传播或跨文化的科学交流的角度研究西学在中国的传播，虽然没有直接对中算家的圆锥曲线说进行研究，但富有启发意义。如前文提到，韩琦的《西方数学的传入及其影响》对科学传播的传播者、条件以及社会因素进行了独到的论述；田淼的《中国数学的西化历程》对西方数学传入中国的历程所进行的比较全面的梳理，并就代数学、三角学以及垛积术为例进行了具体探讨；李兆华的《中国近代数学教育史稿》对晚清数学教育近代化的论述。这三部著作对本书的启发很大。

三、研究的基本思路和拟解决的问题

前人的研究成果比较丰富，但也提出或遗留不少有待继续探讨的问题。如研究偏重于数学成果的展示，对方法的探讨论述不多或有待深入；研究角度比较单一，对中算家所取得的圆锥曲线研究成果缺乏纵向考察，有些成果仍待深化等等。具体来说有以下几个问题值得深入讨论。

（1）结合近10年来中国近代数学教育史的研究成果，对明末至清末圆锥曲线传入中国的过程进行全面的梳理。

（2）中算家对圆锥曲线研究的主要数学方法有哪些？为什么会用这些方法？

（3）一些有代表性的研究成果如夏鸾翔《致曲术》中某些结果与现代椭圆积分类似，其数学思想如何？李善兰的椭圆研究成果的内在逻辑如何？

（4）传入的圆锥曲线知识与中算家已有的知识结构发生怎样的互动？

（5）作为解析几何内容的圆锥曲线知识对中算家学习、吸收微积分知识的作用和影响如何？

（6）从西学传播角度而言，中算家对圆锥曲线的认识、研究体现出怎样的特点？影响传播的主要因素是什么？

本书带着这些问题，以历史研究的方法，从原始文献资料入手，对传入的圆锥曲线知识进行归纳、整理；对中算家的圆锥曲线研究进行数理分析，执果索因，考察他们的解题思路和思维方法；探讨西方数学与传统数学的互动关系，特别是关注圆锥曲线知识对中算家的知识结构的互动影响。

本书在不同的章节以不同的方式行文，或综合研究，或个案分析，或横向比较，或纵向梳理。以中算家普遍关注的问题（如椭圆轨道计算、椭圆求周、二次曲线求积、抛射运动、平圆容切等等）的数理解答方法为线索，进行文献解读和算理分析。全书正文分为五章，内容大致如下：

第一章“明清传入的圆锥曲线知识概述”，主要梳理、论述圆锥曲线知识传入中国的过程，认为大体可分为三个递进的阶段。第一阶段是明末清初时期，传入的圆锥曲线知识不完备也不详细，以椭圆知识为主。第二阶段是19世纪60年代，以《代微积拾级》（1859年）和《圆锥曲线说》（1866年）翻译出版为标志，作为二次曲线出现的和作为综合几何出现的圆锥曲线知识均比较系统地传入中国。第三阶段是19世纪90年代，以《形学备旨》（1885年）、《圆锥曲线》（1893年）、《代形合参》（1893年）等教会学校的一些教科书的出版为标志，圆锥曲线知识进入教学、普及的阶段。从传入的西方数学内容而言，这三个阶段是渐进的过程，传入的知识是由零散到系统、由常量数学到变量数学、由初等到高等再到普及。

第二章至第五章内容与圆锥曲线知识传入的三个阶段大体对应，是本书的主体部分，具体考察中算家对圆锥曲线的研究及其成果，以及对圆锥曲线知识认识逐渐深化的过程。

第二章“椭圆模型：从历法问题到数学专门问题”，主要论述《历象考成后编》传入的“椭圆模型”的历法背景和具体的算法，考察在乾嘉学派兴起和宋元数学复兴的背景下，数学家对椭圆轨道问题的论述和对算法的改进，认为椭圆模型因为历法改革而输入，因为治算之人的社会地位的提升以及数学知识存量的剧增而逐渐成为一个数学研究的专门问题。

第三章“曲线求积：从‘递加数’到‘叠微分’”，考察中算家以级数展开的解析方法对二次曲线求积问题的研究及其主要成果，大体可视为《代微积拾级》翻译出版后中算家对微积分的反应。主要内容是中算家对椭圆求周术的解析式的探求、夏鸾翔所取得的类似现代的椭圆积分的成果以及李善兰对椭圆轨道问题的级数解答。认为他们的成就是在清代中叶逐渐形成的幂级数展开法的基础上吸收《代微积拾级》中的积分术所取得的。而后来一些洋务学堂的学生在曲线求积问题上的成果则是他们对微积分的吸收的体现。

第四章“‘曲线几何’的综合研究”，具体考察中算家以综合几何方法对圆锥曲线的研究及其主要成果，大体可视为圆锥曲线知识系统传入中国之后中算家的反应。其中着重分析夏鸾翔对圆锥曲线综合研究的成果以及李善兰对圆锥曲线焦点作图的研究。这些表明中算家对几何的认识逐渐深刻，《几何原本》的具体影响逐渐显示出来，中算家对一些知识吸收达到一定的深度，他们有的成果甚至超越了传入的内容。

第五章“曲线致用：算学与自强”，论述了晚清特别是自强运动时期，国人形成的“数学—制造—自强”（数学是制造的基础，制造是自强的根本，因此自强应从兴算入手）的认识逻辑，在此基础上论述数学家们对《重学》中抛射运动知识的解读，以及许多数学家对《火器真诀》的再解读，认为知识的传播与受众的知识基础有很强的关联性。还考察了运用圆锥曲线作图解决传统容圆问题和阿波罗尼问题的做法，这表明圆锥曲线知识已经内化为中算家们的知识构成，他们的知识体系得到充实和发展。晚清数学教育变革以及教会学校的影响使得晚清数学教科书得以出现，数学知识分类逐渐近代化，数学知识逐步系统化。壬寅、癸卯学制的颁布使得科学知识教学得以建制化，数学知识的传播更具有制度保证。

最后是结语部分。在前几章对中算家的圆锥曲线说研究的基础上，此章重申圆锥曲线知识传入中国的三个递进的阶段，中算家对圆锥曲线知识的理解和吸收过程是他们基于自己的知识构成变化的演变、深化的过程。更进一步讲，本章对晚清对微积分等高等数学知识吸收薄弱的情形结合中算家当时的知识结构进行了讨论，提出我们对西方数学在中国传播特点的理论思考，着力论述中算家对西方数学的理解、吸收与应用的发展过程的内在原因。我们认为中算家是根据自己的知识结构对传入的数学知识加以选择，赋予西学在自己知识结构内以意义。他们对传入的微积分等西方数学知识的吸收程度是由当时他们自身的知识结构所决定的。中算家的知识构成在比较、吸收西学的过程中在不断地扩充和改变，逐步形成了新的知识结构，影响着后来与西学的相互作用，最后融入西方数学，直至传统数学被取代。自西方数学传入之后，中国数学研究的若干重要成果的方法、特色、成就与不足均与当时数学家的知识结构有关，“知识结构”可以作为此期中国数学发展内因的一个重要依据。中算家知识构成的变化可以作为分析和理解西方数学在晚清传播情形的一个视角，这个视角可以兼顾传统数学“知识进展”与“近代化”的研究思路。

附注：正文第二章至第五章虽然不是以时间为序，但讨论的具体内容大体有着前后的历史顺序。为了突出其历史性，有的人物或著作的时间标注可能随文多次重复出现。为了表述方便，数学符号采用现代的数学符号进行论述。为了有一个直观的认识，基本上每节都选用了一个书影，从中可以看出古今数学语言、符号的变化与区别。