2.4　集合的高考试题实战典型例题

为了巩固所学的集合知识，我们来做一些典型的例题。

例2-1　设集合A={a，b}， B={b，c，d}， 则A∪B=（　　）

A.{b}　　B.{b，c，d}　　C.{a，c，d}　　D.{a，b，c，d}

解析：求集合A与集合B的并集，也就是把集合A的元素和集合B的元素都放在一起，得到:a，b，b，c，d。

故A∪B={a，b，c，d}，选D。

例2-2　设a、b∈R，集合{1，a+b，a}={0，，b}，则b－a等于（　　）

A.1　　B.－1　　C.2　　D.－2

解析：

第一步，分母不能为0，所以a≠0；

第二步，由于两个集合相等，只能a+b=0，即a=－b，

得到=－1，所以b=1，a=－1；

第三步，b－a=1－（－1）=2。

故选C。

例2-3　设A、B、I均为非空集合，且满足A⊆B⊆I，则下列各式中错误的是（　　）

A.（∁IA）∪B=I　　B.（∁IA）∪（∁IB）=I

C.A∩（∁IB）=∅　　D.（∁IA）∩（∁IB）=∁IB

解析：

这种题看似非常麻烦，当然，如果你用基础知识去推导，的确非常麻烦。解决这种题的较好的方法就是维恩图法，但是不好理解。其实，最简单的方法是代数去做。

较好的方法

如图2-10所示，可知B错，故选B。

最好的方法

第一步，令A={1}，B={1，2}，I={1，2，3}；

第二步，分别验证四个选项

选项A， （∁IA）∪B={2，3}∪{1，2}={1，2，3}=I

选项B， （∁IA）∪（∁IB）={2，3}∪{3}={2，3}≠{1，2，3}=I

选项C， A∩（∁IB）={1}∩{3}=∅

选项D， （∁IA）∩（∁IB）={2，3}∩{3}={3}=∁IB

我们发现，只有选项B错误。

故选B。

例2-4　集合M={xlgx>0}，N={xx2≤4}，则M∩N=（　　）

A.（1，2）　　B.[1，2）　　

C.（1，2]　　D.[1，2]

解析：

第一步，先看集合M，由lgx>lg1=0得到x>1；

第二步，再看集合N，由x2≤4得到－2≤x≤2；

第三步，求M和N的交集（图2-11），M∩N=（1，2]。

故选C。

例2-5　已知全集U=R，则正确表示集合M={－1，0，1}和N={xx2+x=0}关系的维恩图是（　　）

A.　　B.　　

C.　　D.

解析：

第一步，求出集合N，得到N={－1，0}；

第二步，我们找到关系，N⊂M⊂U；

故选B。

例2-6　已知集合A={1，2，4}，B={2，4，6}，则A∪B=　　　　。 

解析：

第一步，把集合A和集合B的元素放在一起，得到1，2，4，2，4，6；

第二步，消去重复的元素，得到1，2，4，6。

所以A∪B={1，2，4，6}

答案:{1，2，4，6}。

例2-7　设集合A={x－<x<2} ，B={xx2≤1}，则A∪B=（　　）

A.{x－1≤x<2}　　B.{x－<x≤1}

C.{xx<2}　　D.{x1≤x<2}

解析：

第一步，求出集合B的不等式，得到－1≤x≤1；

第二步，求出集合A和集合B的并集（图2-12），得到{x－1≤x<2}。

故选A。

例2-8　已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x，y）x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为（　　）

A. 2　　B. 3　　C. 8　　D. 10

解析：

由x∈A，y∈A，x－y∈A，用A中元素:

当x=1时，y取不到，没有元素；

当x=2时，y=1，1个元素；

当x=3时，y=1或2，2个元素；

当x=4时，y=1或2或3，3个元素；

当x=5时，y=1或2或3或4，4个元素。

故1+2+3+4=10个。

故选D。

例2-9　集合A={0，2，a}，B={1，a2}，若A∪B={0，1，2，4，16}，则a的值为（　　）

A. 0　　B. 1　　C. 2　　D. 4

解析：

第一步，在{0，1，2，4，16}中，把集合A和集合B里面能确定的数字都划掉，剩下4和16；

第二步，集合A和集合B中剩下a和a2，对应4和16，所以a=4。

故选D。

例2-10　已知集合A={x∈R3x+2≥0}，

B={x∈R（x+1）（x－3）>0}，则A∩B=（　　）

A.（－∞，－1）　　B.（－1，－）　　C.（－，3）　　D.（3，+∞）

解析：

传统方法思路

第一步，算出集合A中的不等式，得到x≥－；

第二步，用穿线法解不等式（x+1）（x－3）>0，

得到x>3或x<－1；

第三步，求出第一步和第二步的交集（图2-13），为（3，+∞）。

故选D。

特殊值思路　

第一步，找出各选项不同之处，发现最特殊的是两个无穷；

第二步，先将正无穷代入集合A和集合B中，取100，分别满足集合A和集合B。

故选D。

例2-11　已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，M={1，3，5，7}，

N={5，6，7}，则∁U（M∪N）=（　　）

A.{5，7}　　B.{2，4}　　C.{2，4，8}　　D.{1，3，5，6，7}

解析：

第一步，M∪N={1，3，5，6，7}；

第二步，∁U（M∪N）={2，4，8}。

故选C。

例2-12　设集合U={1，2，3，4，5，6}，M={1，2，4}，则∁UM=（　　）

A. U　　B.{1，3，5}　　C.{3，5，6}　　D.{2，4，6}

解析：

把1，2，3，4，5，6消掉1，2，4，得到3，5，6。

故选C。

例2-13　已知全集U=R，集合M={x－2≤x－1≤2}和N={xx=2k－1，k=1，2，3…}的维恩图如图2-14所示，则阴影部分所示的集合的元素共有（　　）个

A. 3个　　B. 2个　　

C. 1个　　D.无穷多个

解析：

第一步，由M={x－2≤x－1≤2}，得到M={x－1≤x≤3}；

第二步，由N={xx=2k－1，k=1，2，3…}知道x是奇数；

第三步，这个维恩图表示交集，所以M∩N={1，3}。

故选B。

例2-14　设集合M={－1，0，1}，N={xx2=x}，则M∩N=（　　）

A.{－1，0，1}　　B.{0，1}　　C.{1}　　D.{0}

解析：

第一步，把N={xx2=x}解出来，得到N={0，1}；

第二步，求出M∩N={0，1}。

故选B。

例2-15　某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26、15、13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有　　　　人。 

解析：

该题如果列方程组或者维恩图有些麻烦。我们利用

card（A∪B∪C）=card（A）+card（B）+card（C）－card（A∩B）

－card（B∩C）－card（C∩A）+card（A∩B∩C）来做。

设参加数学、物理、化学小组的人数构成的集合分别为A，B，C。由条件知，每名同学至多参加两个小组，故不可能出现一名同学同时参加数学、物理、化学课外探究小组， 所以card（A∩B∩C）=0，同时参加数学和物理小组的有6人，card（A∩B）=6，同时参加物理和化学小组的有4人，card（B∩C）=4，则同时参加数学和化学小组的有x人，card（C∩A）=x，

所以，根据公式得到36=26+15+13－6－4－x+0

解得，x=8

所以，同时参加数学和化学小组的有8人。