第4节

故事与趣题

百钱买百鸡

张丘建是北魏人，他的数学造诣很深，他撰写的《张丘建算经》共分三卷，主要编录了一些数学应用题。“百鸡问题”是那部算经中最出名的一道趣题，后世的数学家对百鸡问题都有浓郁的兴趣，纷纷模仿编了很多相似的题目。国外的数学家对它也非常感兴趣，纷纷效仿，可以说百鸡问题是世界数学史上影响最大的名题之一。

《张丘建算经》的“百鸡问题”是这样的：

今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一。凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？

题意是这样的：公鸡5元1只，母鸡3元1只，小鸡3只1元，100元可买100只鸡。问可买公鸡、母鸡和小鸡各多少只？

原书没有给出解法，只说如果少买7只母鸡，就可多买4只公鸡和3只小鸡。所以只要得出一组答案，就可以推出其余两组答案。中国古算书的著名校勘者甄鸾和李淳风注释该书时，也没给出解法，只有约6世纪的算学家谢察微记述过一种不甚正确的解法。

从现代数学观点来看，实际上这是一个不定方程，可用求解不定方程正整数解的方法，可以这样解：

设公鸡、母鸡、小鸡分别为x、y、z只。

有两个方程，三个未知量，称为不定方程组，有多种解。

令②×3 -①，得

7x + 4y = 100；

所以，所以x一定是4的倍数。

设x = 4t（t为正整数），

把x = 4t代入7x + 4y = 100，得到

y=25-7t。

易得z = 75 + 3t。

所以，x = 4t

y=25-7t

z=75+3t

因为x, y, z为正整数

所以，4t＞0

25 - 7t＞0

75 + 3t＞0

解得。

又因为t为整数，

所以，当t = 1时，

x=4; y=18; z=78。

当t = 2时，

x=8; y=11; z=81。

当t = 3时，

x=12; y=4; z=84。

也就是说，这题的答案可能有3种情况：

A．公鸡4只，母鸡18只，小鸡78只。

B．公鸡8只，母鸡11只，小鸡81只。

C．公鸡12只，母鸡4只，小鸡84只。

“百鸡问题”是中国数学史上的杰出成就之一，是世界公认的数学名题，至今受到人们的关注。

小读者们不妨尝试一下用不定方程来解决一些实际问题。

拓展应用

1． 六年级某班同学45人去公园划船，如果每只小船有3个座位，每只大船有5个座位，要求每个人恰好有一个座位，那么需要大船、小船各几只？

2． 圆珠笔每支3角，笔记本每本8角，现有6元2角钱，要将钱正好用完，笔记本最多可以买几本？

3．小明和妈妈去商店买玩具，买一个电动玩具要付19元，若妈妈只有2元的钞票20张，而商店里的都是5元一张的，问妈妈怎么付钱最简单？