第8节

故事与趣题

韩信倒油

韩信是西汉开国功臣，我国历史上杰出的军事家，“汉初三杰”之一。韩信早年生活坎坷，曾受淮阴屠中少年胯下之辱，又受城下漂母一饭之恩，他小时候就爱动脑筋，聪明过人。

传说有一天，韩信外出，正好看到街上有两个卖油人争吵不休。出于好奇，就停下来看看发生了什么事。原来这两个人合伙卖油，想把油篓里卖剩下的10斤油平分，但是他们手头没有秤，只有一个装3斤的油葫芦和一个装7斤的瓦罐。他们用油桶倒来倒去，双方总不满意，因而争吵起来。

韩信面对两个各不相让的卖油人和眼前的油桶、瓦罐、油葫芦，默默沉思着。 有没有办法把油分精确呢？忽然眼前一亮，大声说：“你们不要吵了，我能把它们分均匀。”说着，他把自己的想法告诉了这两个卖油人。两个卖油人按照韩信的办法重新分，很快分好了，大家都很满意。

小读者们，你们知道韩信是怎样分的吗？

办法是“葫芦归罐罐归篓，三倒葫芦两倒罐。”这个是实际生活中的问题，为了便于将它们转化为数学问题，我们需要做以下假设：

假设在每次倒“油”时都没有“油”遗失；假设三个容器是干净没有污秽的；假设三个容器没有破损；假设在进行上述活动时没有意外发生。

我们就可以尝试倒油了，如表8-1、表8-2所示。

表8-1

表8-2

最后，两个卖油人各分得5斤。

这种方法就是不管数字多少，一般都是3个瓶子，先全部装在最多的容器里，再倒入最少的里面，最后倒入中等的里面，反复几次。最少的瓶子里面就可以得到一个新的量。这个量就是关键。然后，把最少的和中等的量相加，就是我们要求的量。

上面这种方法，好像完全是“凑”出来的；那么，有没有比较普遍的解法呢？

让我们再举一个例子来说明。

有一个油坛，装着很多油，还有两个空油瓶，一个装7升，另一个装11升；限定只能用这两个瓶子作为容器，可以倒来倒去，怎样才能恰好称出2升油？

这个问题自然可以用代数的办法来解决。但是，在1939年时，一位数学家想出了一个巧妙的方法：设想有一个内角为60°的平行四边形弹珠盘，一边长7个单位，另一边长11个单位；为了便于看出弹珠盘的撞击路线，他在盘内划分出许多小的正三角形，并在各边上标明长度单位。

现在开始打弹珠。从左下角，沿着底边（边长为11个单位的一边）打，这样，弹珠就到达了图上的A点，此点的坐标是（11,0），它的意思是：从油坛子里倒出11升油来装满大瓶。

弹珠撞了壁，就要碰回来，弹珠便从A点到达B点，坐标是（4,7）；它的意思是从大瓶里倒出7升油来装满小瓶，这时，大瓶里还有4升油，而小瓶里有7升油。这样我们容易看到，第一个坐标便是大瓶里装油的数量，第二个坐标就是小瓶里装油的数量。不必多说，小读者完全可以按照弹珠在各边上的位置，得到相应的倒油步骤。这样，经过18步之后，弹珠就到达了图上的点（2,7），这时大瓶里恰好剩下2升油，问题就解决了，如图8-1所示。

图8-1

为了方便小读者参考，我们在图上标了倒油的步骤。其中，斜箭头表示油从大瓶倒入小瓶：大瓶上面的箭头表示油从油坛倒入大瓶；小瓶下面的箭头表示油从小瓶倒入油坛，数字表示油的多少。

同学们是不是感到这种解法很有趣！

下面我们总结一下这类问题的解法。通常，有尝试法、几何坐标法、不定方程法。这种趣味数学游戏还有其他值得我们继续深入研究的地方，有兴趣的小读者可以继续探索，深入钻研。

拓展应用

1． 有一个装满油的8升容器，另有5升及3升的空容器各一个，三个容器都没有刻度，试将此8升油分成两份4升油。

2．有人有12千克美酒，想把一半赠人，但没有6千克的容器，而只有一个8千克和一个5千克的容器，怎样才能分出6千克的美酒？

3．一个装有14千克酒的容器，另外还有装5千克和9千克酒的容器各一个，要把酒平分，该如何分？

4．一只水桶，可装12升水，还有两只空桶，容量分别为9升和5升，如何把大水桶的水平均分成两份？