2.4 许用应力、轴向拉（压）杆的强度计算

工程中所设计的结构或构件都具备一定的功能，需要承受载荷并且产生变形。为保证能正常安全的工作，结构和构件必须具有适当的强度和刚度。

所谓强度就是结构或构件抵抗破坏的能力。若结构或构件足以承担预定的载荷而不发生破坏，则称其具有足够的强度。不允许破坏的结构和构件,因为强度不足而发生破坏，是不能允许的。另一方面，在某些情况下，如剪板机剪板、冲床冲孔、压力锅上的安全阀等，需要破坏的构件因为强度过大而不破坏，也是失败的设计。因此，所有的构件都有必要的强度要求。

所谓刚度则是结构或构件抵抗变形的能力。若结构或构件在设计载荷的作用下所发生的变形小，能保证结构或构件完成其预定的功能，则称其具有足够的刚度。因为固体的弹性变形较小，刚度一般是足够的。但对于一些设计精度较高的、有特殊要求的结构或构件，如传动轴、大跨梁等，也必须考核其是否满足刚度要求，使变形限制在保证正常工作所允许的范围内。

在进行强度计算时应该考虑两个方面的问题：

（1）构件在载荷作用下所产生的工作应力。

（2）构件所用材料的力学性能。

构件在可能受到的最大工作载荷作用下的应力称为工作应力。通过材料力学性能的试验研究，得到了材料可以承受的极限应力指标。对于脆性材料，应力到达强度极限σb时会发生断裂；对于塑性材料，应力到达屈服强度σs时会因屈服而产生显著的塑性变形，导致结构或构件不能正常工作。屈服和断裂都是材料破坏的形式，故在进行强度设计时，分别以σs和σb作为塑性和脆性材料的极限应力。因此，强度条件是结构或构件的工作应力σ小于材料的极限应力σs（或σb），可写为

但是，仅仅将工作应力限制在极限应力内，还不足以保证结构或构件的安全。因为上述判据的两端都可能有误差存在，因此，必须将工作应力限制在某一小于极限应力的范围内，提供一定的安全储备，才能保证结构和构件能安全地工作。换言之，实际工程设计中允许使用的应力称为许用应力，应当比材料的极限应力更低一些。工程设计中规定的许用应力［σ］为

式中n是一个大于1的系数，称为安全系数。即材料的许用应力等于其极限应力除以安全系数，或安全系数是极限应力与许用应力之比。将许用应力与极限应力之差作为安全储备，以期保证安全。

各种不同情况下安全系数的选取，可以参照有关设计规范和手册的规定。如一般情况下，钢材的安全系数取n=1.2~2.5，脆性材料取n=2.0~3.5，而铸件取n=4等等。随着力学分析方法的进步，材料制造、加工水平的提高，对工程系统力学性态有更加充分了解后，可以降低安全系数的取值，在保证安全的条件下进一步提高设计的经济性。

为了保证拉（压）杆的正常工作，必须使杆件的工作应力不超过材料在轴向拉伸（压缩）时的许用应力，即

式（2.10）称为杆件受轴向拉伸或压缩时的强度条件。运用此式可以解决工程中下列三方面的强度计算问题：

（1）强度校核。已知杆件的材料、尺寸及所受载荷（即已知［σ］、A及N），可以用式（2.10）检查杆件的强度。

（2）选择截面。已知杆件所受载荷及所用材料（即已知N和［σ］），可将式（2.10）变换成

从而确定杆件的安全截面面积。

（3）确定许可载荷。已知杆件的材料及尺寸（即已知［σ］和A），可按式（2.10）计算此杆所能承受的最大轴力为

从而确定此结构的承载能力。

【例2.3】 冷锻机的曲柄滑块机构如图2.18所示。锻压工件时连杆接近水平位置，承受的镦压力P=1100kN。连杆的截面为矩形，高与宽之比为h/b=1.4。材料为45号钢，许用应力为［σ］=58MPa（由于考虑到稳定效应影响，此处的［σ］已相应降低），试确定截面尺寸h和b。

分析：曲柄滑块机构连杆两端约束均为圆柱形铰链，是二力杆。A、B两点所受的约束力是一对大小相等，方向相反的力，作用线与连杆轴线是重合的，且是压力，将使AB杆产生轴向压缩变形。确定杆件变形形式后，先计算轴力，然后计算出杆的工作应力，利用拉压杆的强度条件可确定截面的几何尺寸。

解：由于锻压时连杆位于水平，连杆所受压力等于锻压力P，轴力

利用强度条件式（2.11）得

又因为连杆为矩形截面，其面积A=bh=1.4b2,所以

【例2.4】 重物P由铝丝CD悬挂在钢丝AB的中点C处，如图2.19（a）所示，已知铝丝直径d1=2mm，许用应力［σ］1=100MPa，钢丝直径d2=1mm，许用应力［σ］2=240MPa，且α=30°，试求许可载荷［P］。

若不更换铝丝和钢丝，如何提高许可载荷?提高后的许可载荷［P］*是多少（结构仍保持对称）?

分析：结构中的钢丝和铝丝均受拉力作用，将产生轴向拉伸变形，可简化成拉杆模型利用式（2.2）计算工作应力。由于两拉杆的受力大小和材料都不相同，因而各杆能承受的许可载荷是不一样的。结构的许可载荷应取其中最小值。

如果在不改变结构的情况下，要提高承载能力，可使两杆的工作应力分别达到各自的许用应力，这是强度设计中的最佳状态。

解:（1）设铝丝和钢丝的张力分别N1和N2，则C点受力如图2.19（b）所示，由平衡条件可得

（2）由强度条件可得

比较［P］1和［P］2，则结构的许可载荷［P］=188N。

结构的许可载荷受到钢丝的限制，钢丝所受张力随α角的增加而减小，因而增加α角可提高结构的许可载荷，而结构的最大许可载荷同时也会受到铝丝的限制。当α≥α*（0≤α≤90°）时，钢丝的许可载荷大于或等于铝丝的许可载荷，即［P］2≥［P］1，此时有

因此，当90°≥α≥α*=56.4°时，结构的许可载荷提高为

【例2.5】 已知方形石柱的自重为ρg=23kN/m3，许用应力［σ］=1MPa，求石柱的截面尺寸。

分析：石柱的自重是体积力，轴力沿轴线成线性分布，最大轴力（危险截面）在石柱的底部。

解：（1）受力分析。任意取一横截面，轴力由截面法可得

则石柱最大轴力在底部截面上：

画轴力图如图2.20所示。

（2）强度条件，由式（2.10）有

故方形截面的边长为

若石柱改为阶梯形柱（图2.21），如何设计?请读者自己思考。