3.3 基于局部变形理论计算弹性地基梁

在弹性地基梁的计算理论中，除上述局部弹性地基模型假设外，还需要作如下三个假设：

（1）地基梁在外荷载作用下产生变形的过程中，梁底面与地基表面始终紧密相贴，即地基的沉陷或隆起与梁的挠度处处相等；

（2）由于梁与地基间的摩擦力对计算结果影响不大，可以略去不计，因而，地基反力处处与接触面垂直；

（3）地基梁的高跨比比较小，符合平截面假设，因而可直接应用材料力学中有关梁的变形及内力计算结论。

3.3.1 基础梁的挠度曲线微分方程

图3-3-1（a）表示一等截面的基础梁，梁宽b=1。根据温克尔假定，地基反力用式（3-2-1）表达。角变、位移、弯矩、剪力及荷载的正方向均如图3-3-1所示。下面按照图中所示情况，推导出基础梁的挠度曲线微分方程。

图3-3-1 弹性地基梁的受力分析

从图3-3-1（a）所示的基础梁取一微段，如图3-3-1（b）所示，根据平衡条件∑Y=0，得

化简后变为

再根据∑M=0，得

整理并略去二阶微量，则得

由式（3-3-2）和式（3-3-4），知

若不计剪力对梁挠度的影响，则由材料力学可得

将式（3-3-6）代入式（3-3-5），并注意σ=Ky，则得

令

代入式（3-3-7），得

式中 α——梁的弹性特征系数；

K——地基的弹性压缩系数。

式（3-3-9）就是基础梁的挠度曲线微分方程。

为了便于计算，在式（3-3-9）中用变数αx代替变数x，二者有以下的关系，即

将式（3-3-10）代入式（3-3-9）中，则得

式（3-3-11）是用变数αx代替变数x的挠度曲线微分方程。按温克尔假定计算基础梁，可归结为求解微分方程式（3-3-11）。当y解出后，再由式（3-3-6）就可求出角变θ、弯矩M和剪力Q，将y乘以K就得地基反力。

3.3.2 挠度曲线微分方程的齐次解

式（3-3-11）是一个常系数、线性、非齐次的微分方程，它的一般解是由齐次解和特解所组成，齐次解就是式（3-3-12）的一般解，即

设式（3-3-12）的解具有以下形式，即

将式（3-3-13）代入式（3-3-12）中，则得

即

这就是微分方程式（3-3-12）的特征方程，它有两对共轭复根，即

其中γ1与γ2共轭；γ3与γ4共轭。由此得式（3-3-12）的解为

式中，A1～A4是4个常救，可用另外4个常数C1～C4代替，使其有以下的关系，即

将以上各式代入式（3-3-17）中，则得

在式（3-3-19）中，有

式（3-3-17）或式（3-3-19）便是微分方程式（3-3-11）的齐次解。下面将基础梁区分为短梁和长梁，以定出齐次解中的4个常数（通解）与附加项（特解）。这样求得的解，就相当于微分方程的齐次解与特解之和。

3.3.3 初参数和双曲线三角函数的引用

图3-3-2所示为一等截面的基础梁，设左端有位移y0、角变θ0、弯矩M0和剪力Q0，它们的正方向如图中所示。

图3-3-2 弹性地基梁作用的初参数

根据式（3-3-6），对式（3-3-19）进行求导，则得

将式（3-3-21）用于梁的左端（图3-3-2），并注意当x=0时ch（αx）=cos（αx）=1，sh（αx）=sin（αx）=0，由此得

解出以上4式，求得

这样，式（3-3-19）中的4个常数C1～C4用y0、θ0、M0和Q0（称为初参数）表达，将式（3-3-23）引入式（3-3-19）中，式（3-3-19）变为

为了计算方便，引用下列符号，即

其中，叫做双曲线三角函数，4个函数之间有以下的关系，即

将式（3-3-25）代入式（3-3-14）并按式（3-3-8）消去EI，再按式（3-3-6）逐次求导数，并注意式（3-3-26），则得以下各式，即

式（3-3-27）中的第一式是在微分方程式（3-3-11）的齐次解中引用了初参数和双曲线三角函数的结果。第二、三、四式则是按照式（3-3-6）对第一式逐次求导的结果。

在式（3-3-27）中，有4个待定常数y0、θ0、M0和Q0，其中两个参数可由原点端的两个边界条件直接求出，另外两个待定初参数由另一端的边界条件来确定。表3-3-1列出了实际工程中常见的支座形式及荷载作用下梁端初参数的值。

3.3.4 挠度曲线微分方程的特解

以图3-3-2所示基础梁为例，当初参数y0、θ0、M0和Q0已知时，就可用式（3-3-27）计算荷载P以左各截面的位移y、角变θ、弯矩M和剪力Q。但是在计算荷载P右方各截面的这些量值时，还须在式（3-3-27）中增加由于荷载引起的附加项。下面将分别求出集中荷载P、力矩M和分布荷载q引起的附加项。

3.3.4.1 集中荷载P引起的附加项

在图3-3-2中，将坐标原点移到荷载P的作用点，仍可用式（3-3-27）计算荷载P引起的右方各截面的位移、角变、弯矩及剪力。因为仅考虑P的作用，故在它的作用点处的4个初参数为

用代换式 （3-3-27）中的y0、θ0、M0和Q0，则得

式（3-3-29）即为荷载P引起的附加项，式中双曲线三角函数φ1、φ2、φ3、φ4均有下标α（x-x1），表示这些函数随α（x-x1）变化。当求荷载P左边各截面（图3-3-2）的位移、角变、弯矩和剪力时只用式（3-3-27）即可，不需用式（3-3-29），因此，当x<x1时式（3-3-29）不存在。

3.3.4.2 力矩M引起的附加项

和推导式（3-3-29）的方法相同，当图3-3-2所示的梁只作用着力矩M时，将坐标原点移到力矩M的作用点，此点的4个初参数为

用代换式 （3-3-27）中的y0、θ0、M0和Q0，求得力矩M引起的附加项如下：

式中φ1、φ2、φ3、φ4均有下标α（x-x2），表示这些函数随α（x-x2）变化。当x<x2时式（3-3-31）不存在。

3.3.4.3 分布荷载q引起的附加项

参照图3-3-2，设所求坐标为x（x≥x4）截面的位移、角变、弯矩和剪力。将分布荷载看成是无限多个集中荷载q·du，代入式（3-3-27），得

在式（3-3-32）中，φ1、φ2、φ3、φ4随α（x-u）变化。如视x为常数，则d（x-u）=-du。考虑这一关系，并注意式（3-3-26），得

将以上各式代入式（3-3-31）中，再使用部分积分则得

图3-3-3 弹性地基梁作用一段均布荷载

式（3-3-34）就是求分布荷载q的附加项的一般公式。用此式求4种不同分布荷载的附加项：梁上有一段均布荷载；梁上有一段三角形分布荷载；梁的全跨布满均布荷载；梁的全跨布满三角形荷载。

（1）梁上有一段均布荷载的附加项如图3-3-3所示，梁上有一段均布荷载q0，这时q=q0，dq/du=0，代入式（3-3-34）得附加项为

（2）梁上有一段三角形分布荷载的附加项如图3-3-3所示，梁上有一段三角形分布荷载。在x3～x4区段内任一点的荷载集度为

将式（3-3-36）代入式（3-3-34），则得

再将式（3-3-33）代入式（3-3-37）中积分号内，积分后则得

式（3-3-38）就是梁上有一段三角形分布荷载的附加项。

在式（3-3-35）和式（3-3-38）中，函数φ的下标有的为α（x-x4），在式（3-3-38）中第一个方括号内还有乘数（x4-x3）。使用此二式时要注意，当x≤x4时，圆括号内的x4均应换为x，即α（x-x4）改为α（x-x）、（x4-x3）改为（x-x3），这是因为求这些附加项时，只有作用在x截面以左的荷载才对x截面的位移y、角变θ、弯矩M、剪力Q起作用。

（3）梁的全跨布满均布荷载的附加项，如图3-3-4所示，当均布荷载q0布满梁的全跨时，则x3=0，并且任一截面的坐标距x永不大于x4。这样，将式（3-3-35）中各函数φ的下标x4改为x，则有

图3-3-4 弹性地基梁作用全跨均布荷载

由此得全跨受均布荷载的附加项为

（4）梁的全跨布满三角形荷载的附加项，如图3-3-4所示，当三角形荷载布满梁的全跨时，x3=0，任一截面的坐标距x永不大于x4。与推导式（3-3-40）相同，从式（3-3-38）得

式（3-3-41）就是梁的全跨布满三角形荷载时的附加项。

在衬砌结构的计算中，常见的荷载有均布荷载、三角形分布荷载、集中荷载和力矩荷载，见图3-3-4。根据这几种荷载，将以上求位移、角变、弯矩和剪力的公式综合为

式中——附加项只当x＞x1时才存在，其余类推。

式（3-3-42）是按温克尔假定计算基础梁的方程，在衬砌结构计算中经常使用。

式（3-3-42）中的位移y、角变θ、弯矩M、剪力Q与荷载的正向，如图3-3-4所示。

一段均布荷载和一段三角形分布荷载（图3-3-3）引起的附加项，见式（3-3-35）与式（3-3-38）。没有将这两个公式综合到式（3-3-42）中去。