波与波力

二维强迫波的分析^>[1]

对水体进行强迫振荡的分析，是有助于水利、海洋等某些工程的设计，同时对室内模拟的水体波动特性，可以从理论上进一步掌握和了解。本文主要推导和分析了二维强迫干涉波、强迫前进波的解，并概述了其解的一些应用。

一、强迫干涉波

1.方程提出和建立

由于干涉波较为复杂，对它作了适当的简化，假定水体运动是无旋不可压缩的，边界一端或两端认为是简谐运动，并将问题作为二维的定常情况来处理。选水体静止自由表面向右为ox轴，垂直向下为oz轴，水深H，水体长度l。这样问题的求解，便可归结为寻找满足拉普拉斯方程Δ²φ=0和边界条件的水体速度势φ。现建立式（1.1）、式（1.2）两组偏微分方程：

式中：A、B为左、右边界处的水面或水底的强迫水平双振幅。

2.方程的求解

（1）第一组方程的解。设φ=X（x）P（z）cosσt为式（1.1）的解，将φ代入方程组（1.1）的前三式中去，便可得下列常微分方程：

式中：λ为特征值；P（z）为特征函数。

当λ&lt；0时，有特解：

式中，，而A′₀、B′₀由式（1.1）中的边界条件及特征函数chK₀（z-H）在区域（0，H）的正交性求得。

当λ&gt；0时，各种特解为：

式中，K_n=、p′=Hσ²/g，而A′_n、B′_n由式（1.1）中的边界条件及特征函数［-K_ncosK_nz+（p′/H）sinK_nz］在区域（0，H）的正交性求得：

通过上面求解过程，第一组偏微分方程的解为：

式中，B′₀、B′_n由式（1.7）、式（1.10）决定。

根据波动表面方程及拉格郎日方程得到下列干涉波的波形和波压公式：

（2）第二组方程的解。由于式（1.2）是线性方程组，而其边界条件是非齐次的，因此可将式（1.2）分成下列两组方程：

类似上节方法，可分别求解，最后将此两解进行叠加得：

同前法求得下列波形及波压公式：

二、强迫前进波

设想有一二维水体，位于一水平底层之上，一端产生简谐运动，强迫水体振荡，另一端水体延伸至无穷远处，坐标同前选择。以P表示压力，u、v分别为ox轴和oz轴方向的水质点速度分量，则连续方程及运动方程为：

自由表面应满足条件：

式中：ζ为水面离静止水位升降的高度。

底部需满足条件：

水体左端边界产生简谐运动，其边界条件：

水体右端边界条件：

在x→∞处，波浪为向右传播的前进波。

本文主要用逐次逼近的办法求得上述方程的近似解。首先将方程及边界条件线性化，求得一阶近似解。再把一阶近似解代回原方程来求得二阶近似解。

1.一阶近似解

同理，设水体是无旋的，速度势存在，则方程式（2.1）～式（2.4）可简化成形如（1.1）方程组中前四式形式，因此一阶近似解的形式同前相仿，不同的是由于边界条件差异，解的形式需作如下变化。

当特征值λ&lt；0时，方程组（1.1）解的一般形式为式（1.5），由边界条件，当x→∞时为向右传播的前进波，因而在式（1.5）中只须取A′₀=0，于是φ₀的一般形式可化为：

式中，常数B′₀可由边界条件及特征函数chK（z-H）在区域（0，H）的正交性决定：

当特征值λ&gt；0时，方程式（1.1）的特征解形式为式（1.8），由于边界条件x→∞时，φ为有限值，故在式（1.8）中取A′_n=0，于是：

因此一阶近似解的形式为：

式中，K₀为σ²=gKthKH的正根，K₁，K₂，…，K_n为σ²=-gKtanKH的正根。，因而对于所有n，K_nH&gt；，故当x=3H时，式（2.8）中第二项可略去不计。由此解的形式又可写成：

式中，B′₀仍由式（2.6）表示。B′₀为参数，各种不同的波型取不同的值。式（2.6）中B′₀为过渡型的波动参数；当式（2.6）中A=B时，B′₀为浅水型的波动参数；当式（2.6）中B=0时，B′₀为深水型的波动参数。

同前方法，求得一阶近似解的压力、波形、波高及波速：

2.二阶近似解

将式（2.1）写成下列形式：

在水面z=-ζ处，应满足条件：

其他边界条件均同前所述。把式（2.12）的u、v代入式（2.13）的右方得方程组，并考虑到此方程组非齐次性，可得特解为：

把式（2.15）中三式分别加入到一阶近似解式（2.10）、式（2.12）中去，并由B′₀=gh₁/2σchK₀H、σ=及K₀=便得到二阶近似解各式：

式中：L为波长；T为周期。把式（2.17）代入式（2.14）后，对其积分后又得：

通过我院波浪水槽的试验，证明了二阶近似解各式的计算值是与试验资料吻合的。

三、应用

1.地震激起的水体表面波的壅高

地震能引起大坝振动及水库内水体的振荡。地震时，对坝体结构而言有绝对运动和相对运动两种。这两种运动的位相是不同的。在计算地震激起水体表面波的壅高时，对于低坝及库面不开阔的情况可直接用式（1.18）进行计算。对于高坝而库面开阔的情况，应用如下公式［式（2.18）简化］进行计算。

（1）相对水平运动产生的波浪壅高：

式中：A为静水面处坝体的相对水平最大双振幅；L=gT²/2π。

（2）绝对水平运动产生的波浪壅高：

式中：B为绝对水平最大双振幅；L同上式。

2.大型圆柱体上波压

从有限波高出发，取得了波压公式（2.16），然后对公式进行圆柱坐标的变换，并结合美国马克坎米在柱体上的绕射理论，导得了大型柱体上的波压公式：

式中：a为圆柱体半径；ψ=arctan（2K₀cosθ）；φ=arctan（4K₀cosθ）。

根据大型柱体上的波压公式，不难求得单位高度波力及水平总波力公式，便于海洋平台、水库进水塔上的波浪载荷的计算。这些公式的计算结果与我院原体观测得到的资料是接近的。

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