2.1.1　比例–微分控制器

首先，利用一个如下形式的比例–微分控制器稳定该系统：

式中，w为y的期望值。值得注意的是，w可能是依赖于时间的。显而易见，该控制器需要y的微分，这在反馈线性化所定义的结构内并不存在任何问题。当然，可以将这些微分量表示为关于系统状态变量x和输入变量u的解析方程。至于期望值w（t），则可人为选择，并假设其解析表达式是已知的（例如：w（t）=sin（t））。如此而言，就可以用正规方式去计算w的微分而不用担心噪声对微分算子的影响。

该反馈系统由如下微分方程描述：

如果定义期望值w与输出y之间的误差e为e=w-y，则该方程可转化为：

将该微分方程称为误差动态方程。其特征多项式为：

那么，便可根据多项式的次数任意选择特征多项式。当然，为保证系统的稳定性，多项式的所有根均应具有负实部。例如，假定n=3且方程的所有极点都等于-1，则有：

其中，

则所得控制器如下式所示：

注释　在本书中，为简化起见，将所有的极点都选择为-1。根据之前应用于不同次数n的推论，可得如下控制：

注意，对应于这类帕斯卡三角形的系数为：