6.3　光锥规范量子化

回顾一下4.3节中关于玻色弦理论给出的超弦分析。首先，我们量子化了自由幽灵（而非明显协变的光锥规范中的理论），并证明洛伦兹不变性对于D=10和a=1/2有效。其次，我们证明了协变形式（而非明显的自由幽灵）实际上等价于光锥形式和自由幽灵。这又涉及无质量玻色-发射顶点的使用及纵向算符生成物理谱线的问题。我们将继续研究下去，首先证明时空超对称的问题。

6.3.1　光锥规范

在第4章中，我们看到在协变规范中，也有残留的规范不变性，如光锥规范。到目前为止，我们已经讨论过的RNS模型真正是一个具有局域世界片超对称的库仑规范模型，我们将在6.3.5节中将其公式化。我们已在第4章中看到，玻色弦理论再参量化的不变性允许我们强加一个额外的规范条件——光锥规范。本节我们将讨论类似于光锥规范的公式。

在玻色弦理论中，剩余的保持协变规范选择不变性的再参量化恰恰足以测量所有非零模振子的“+”分量，因此只要满足两维波函数，就有

该论证在当前情况下同样适用。然而，现在也存在运用局域超对称变换的自由，这一变换保存了规范选择。于是我们可以取规范选择：

由于，作为一个一致性检验，在整体超对称变换

中，在规范选择中并不改变。

我们从玻色开弦扇区开始。对于σ>0，定义；对于σ<0，定义。的模展开式由式（6.2.58）给出。闭弦的对应展开式包括具有双指数的模。根据第4章不难得到。辅助约束条件暗示了的消失，而取形式

以及

给定规范选择和，这些方程的光锥分量和可以求解：

按照傅里叶模的形式，有

与6.2.2节中的公式比较，满足含异常项的超-维拉宿代数：

光锥规范与一般情况下的量子结构并不一致。正如在玻色子理论中要求洛伦兹代数满足光锥规范一样，我们能够推断出时空维数D和参数a的限制。将代入式（6.2.16）的协变表达式和式（6.2.17），有

式中，

而由式（6.3.8）给出。正如在玻色弦理论中，容易证明洛伦兹生成子

满足通常的洛伦兹代数，除了，因为假定该式为零。

证明的方法与4.3.1节中讨论玻色弦理论所使用的方法相同。作为经典理论的洛伦兹不变性会导致一个结果：振子中的四次项必须删除。定义，得，将它代入式（6.3.16），并将指标“μν”替换为“i-”，则有

依照4.3.1节的方法进行相同操作，得

式中，

与先前结果的区别源于对易子异常项的变化。利用恒等式

以及

可以推断出：

比较这些结果，我们看到洛伦兹代数仅满足D=10和a=1/2的情况。

若把弦离散成一系列的点，如，则场函数成为

若取N→∞，则弦函数同时是弦上每一点的函数。首先定义赫尔伯特空间的弦激发。用谐振子来扩展场是方便的，这时有

由此我们将发现一次与二次量子化之间的区别。在二次量子化中，场函数ϕ(x)同时是所有可能的弦配置的组合。用谐振子的本征态作为一种特殊表示，以弦变量X作用在弦本征态上，以便得到

等。所以光锥场理论的主要研究对象是光锥“场”，而不是光锥“规范”。

6.3.2　无鬼定理和谱生成代数

无鬼定理的证明基于弦理论中相关证明的扩展。因为无鬼定理的证明在玻色扇区和在费米扇区中几乎相同，所以本节我们仅介绍玻色扇区中无鬼定理的证明，也要构造理论的生成谱的算符。

如同在4.3.1节那样，我们从构建DDF算符开始，用它描述物理横向激发态。我们曾考虑横向极化的无质量矢量顶点算符，其出射动量，顶点算符作用在动量为的态上。动量和P0由和给出，n和N是整数。由式（6.2.60）看来，适当的算符是

而算符

满足，当作用限制在动量为的态上时，它们定义完好。在超弦情形中，若将物态映射到物态上，则要求对易。这一工作运用式（6.2.51）建立起来，而M具有共形维数1/2的事实给出了：

它遵守：

于是属于谱生成代数。这些算符与横向振子一一对应。

在谱生成代数中，构建横向算符是可能的，尽管不存在对应的顶点算符。工作的公式是

由于4.3.3节给出的理由，在当前的语境中，似乎奇特的分数功率给出了定义完好的表达式。因为对于具有J=1/2，故这一算符满足：

算符和的代数能够按照4.3.2节中相同类型的操作计算出来，结果是

于是，该代数与由横向振子和构成的代数同构。

DDF态是由DDF算符作用在任意水平的基态上创生的物态。这种态在DDF态空间中形成正交基，记作|f>，满足玻色理论中同样的条件，即

式中，Km=，与费米子条件

一样。算符Hr定义为

由DDF算符不包含的任何方幂可知，Hm湮灭了DDF态。

现在描述态的完全基，这种完全基处于NS扇区所有玻色子和费米子振子组合的福克空间中，而这种完全基是由玻色子和费米子的DDF态与其正交补集相结合而形成的。这由4.3.3节中定义的，以及的任意幂组成的态构成。这种类型的任意态具有形式：

式中，|f>是一个任意的DDF态。费米子占有数等于0或者1，而

正如4.3.3节中所介绍的，这种态对于|f>的任意选择线性独立，如果对于P的任意选择，则矩阵的内积具有非零行列式。作为结果，赫尔伯特空间的一般态可以写作：

式中，|s>是一个伪态；|k>是态空间中的一个态，具有形式：

在无鬼定理的证明中，临界维数中任意伪态|s>满足，并且通过(m,r>0)的规范作用被映射到另一个伪态上。这里的论证与4.3.3节中的论证完全平行，只不过这里是从考虑作用在伪态上的作用量开始的。

谱生成代数的完备描述仍需要构建纵向算符。谱生成代数的纵向算符，包括我们前面使用的式（6.3.34）及根据4.3.3节中使用相同原理推导出的公式。

完备的谱生成代数由式（6.3.34）及下面的7个公式给出：

能够证明，根据4.3.3节中使用的相同原理，这些算符能够生成全部物理谱。

恰如在玻色理论中，定义算符

是方便的，它们与横向DDF算符对易或者反对易。当a=1/2且D≤10时，福克空间的物理子空间具有一个正定赫尔伯特子空间。当D=10时，算符和创建零模物态，其与物理谱中的每个态正交。因此，它们描述从物理谱中分离出的那些态，通过横向DDF算符和而被完全建立起来。

当D>10时谱包含幽灵。例如，一对态有一个矩阵的内积，其行列式为(D-2)(10-D)。于是当D>10时一个线性组合描述一个幽灵。

6.3.3　GSO条件

到目前为止所描述的RNS模型，是一个前后矛盾的量子理论，即使对于D=10和a=1/2，或在费米扇区a=0，除非进一步强加限定条件。F.Gliozzi、J.Scherk和D.Olive（GSO）于1976年首次提出，并于次年在Nucl.Phys.B上发表论文，指出必须进行谱线的截断。

首先，弦理论中出现了超光子，我们希望消除它。应该在弦态上强加一个限制，以便能够消除包括超光子在内的某些态，同时能够保留无质量粒子。其次，即使并不真正存在与自旋统计性定理的冲突，将玻色子映射到玻色子的反对易算符的存在也令人不安。于是，要考虑态：

这种态对于任何n值都是玻色态，因为都是玻色态。对偶数n不存在特别之处，因为n个反对易算符之积是对易的。但是对奇数n，深入思考式（6.3.51）之后我们被迫丢弃其中具有奇数n的态，而保留了具有偶数n的态。对于式（6.3.51）中的一般态，有。仅保留n为偶数的态，则最后就仅有的态。这就是GSO投影。

最后，将10-维的观念与已经存在的两维超对称对比，发现GSO投影给出了超对称理论。因此，GSO投影很有吸引力。进而，在光谱研究中我们的理论将会包含无质量的自旋为3/2的粒子。理论的自洽性很难在相互作用水平上耦合守恒流，除非这个自旋为3/2的无质量粒子耦合到一个守恒电流，否则在相互作用水平上很难期望理论的自洽性。这时，对应的守恒荷具有自旋1/2，其将是超对称荷。因此，只有在相互作用水平上的GSO投影才是自恰性需要的。

接下来，我们寻找间接证据以证明下述论点：具有GSO投影的RNS模型在10-维的意义上是一个超对称理论。首先讨论一些背景知识。

无质量开弦态由一个矢量和一个旋量组成。矢量由福克空间态描述，无质量旋量是条件的最低质量解这样一个态是以描述的，其中是满足无质量狄拉克方程的旋量。R扇区中的基态是旋量，以表示，其中a是旋量指标，表示动量。理论超对称的必要条件是这一对态能组成超对称多重态，完整的超对称要求在每一质量水平上构成各自的超多重态。一个矢量场在D=10时具有10个分量，但是仅有8个横向分量描述独立的传播。所以超对称需要的无质量旋量也应有8个传播模式。一般地，旋量在10-维时空中可以具有个复分量。对于偶数D，这一表示结构具有维数。然而同时强加马约拉纳和外尔约束，每个约束都将分量的数目减到原来的一半，分量总数目减少到16个。这剩余的16个实分量仍然需要满足狄拉克方程，以描述物理传播自由度。这个线性方程与分量的一半有关，反过来满足克莱因-戈登方程。所以，通过满足狄拉克方程的自旋量描述的传播模式的数目总是恰为自旋量包含的分量数目的一半。这表明，当D=10时，马约拉纳-外尔旋量描述8个传播模式，需要的分量数目与矢量一起构成超多重态。

首先考虑马约拉纳条件，该条件在费米场中为实条件。无质量狄拉克方程是。选择度规全部是实数或者全部是虚数是可能的，故限定Ψ是实数这一条件具有物理意义。伽马度规的表示全部为实数或者全部为虚数，称为马约拉纳表示，而全部为实数的旋量叫作马约拉纳旋量。

我们构造一个D=10的狄拉克代数的表示，其中伽马矩阵的矩阵元全部为虚数。在这种表示中，要求反对称，而另外9个矩阵对称。伽马矩阵有10个矩阵元，我们可以挑选出与横向有关的8个，它们组成一个关于SO(1,9)的子代数SO(8)的克利福德代数，即D=10的洛伦兹代数。我们构建8个实对称的16×16度规，令它们满足反对易关系。我们希望这些在10个虚数的32×32度规的构建中满足反对易关系。具体地说，令

式中，是16×16的单位矩阵。在通常的表达式中，是实数，是虚数；正是我们想要的虚数。这表明马约拉纳条件可能在10-维时空中成立。

现在我们转到强加到旋量上的第二个重要条件——外尔条件。当D为偶数时，定义一个类似于4-维的矩阵，它可用于定义旋量的手征。在D=10维中引入

其满足。来自平方空间的伽马矩阵的9个“上升”和来自反对易矩阵的45个“上升”合在一起，总数54为偶数。具有的旋量分别叫作旋量的正、负手征。算符为手征投影算符，它们投影到定义了手征的旋量上。定义了手征的旋量叫作外尔旋量。对一个手征旋量的限制叫作外尔条件。

上面给出的马约拉纳表示中，有10个虚数，显然是实数。因此，给定一个实数的旋量χ，定义手征的两部分也是实数。这意味着马约拉纳条件和外尔条件是兼容的。可能要求一个旋量场是外尔旋量，即正手征，也是实数的马约拉纳旋量。在马约拉纳表示中，是虚数。一般地，马约拉纳条件和外尔条件关于维数D=2（模为8）是兼容的。定义了手征的旋量也遵守马约拉纳条件，叫作马约拉纳-外尔旋量。

马约拉纳-外尔旋量在D=10维中具有16个实分量。我们从32个复分量开始，马约拉纳条件使它们实化，而外尔条件消除了总数的一半。正如我们已有的解释，狄拉克方程意指它们中的8个可以联系到其余的8个。于是，仅存在8个χ的独立传播自由度，刚好组成具有矢量的超多重态。

我们知道，10-维的无质量费米子必须同时是马约拉纳和外尔旋量，这确保了无质量扇区能组成一个超对称多重态。外尔条件意味着基态旋量是的本征态。将这一条件推广到任意一个费米子，需要的算符为

它具有性质：

因为因子与～反对易，而中的其他因子与n≠0时的模反对易。由于在中是线性的，所以：

在R扇区中，算符扮演着的角色。于是GSO条件对于物理费米态是

这是下面的偶数G宇称约束的对应物：

式中，对于物理玻色子

算符分别在费米扇区和玻色扇区代表。

对费米子基态，约减了，手征算符、GSO投影意味着在10-维意义上仅保持无质量费米子的正手征。

在光锥规范中，可能的态是，条件意味着u1和u2是相反手征的马约纳拉-外尔旋量：

这两个旋量组合给出一个马约拉纳旋量，组成洛伦兹群的不可约巨量表示。

超对称的必要条件是在每个质量水平上有相等数量的玻色态和费米态。对于无质量态，这遵从式（4.3.57）。外尔投影留下8个物理的无质量费米态，与无质量矢量的传播模式的数量相同，现在考察玻色态和费米态在每个激发质量水平上存在多少。这是一个组合问题，类似于4.3.5节中玻色弦的计算。我们看到，简并由给出。在玻色扇区，考虑到G宇称投影和无质量水平包含1/2单位激发态的事实。作为结果，具有的态的数目由给出，有

回忆G与是相同的，迹的估算是4.3.5节中关于玻色理论的例题的直接推广。新的特色是迹的因子遍及模，即。因为每个费米态不论是占有还是空闲，这个因子为每个模式给出了。G在中的存在改变了占有态的符号，在每个水平上给出了。故完整的迹是

令ω=x，式（6.3.55）也可写作：

费米子水平的简并度由下面相似的方式给出：

而

所以有。这正是GSO所指出的结论，当然该式不是简化的RNS模型具有超对称性的一个证明，而是一个必要条件。这个投影称为GSO投影。在关于的公式中不存在因子，因为无质量费米子基态对应于N=0。执行迹给出了：

现在我们要问：在每个质量水平上，是否真的存在等量的玻色子和费米子？需要的恒等式是

该恒等式已经在1829年被雅可比证明。能够证明，每个表达式的展开式为

6.3.4　作用量的局域超对称形式

到现在为止，我们已经将形式上具有世界片超对称性的超弦公式化了，但是我们希望把这一切放在一个完美的逻辑基础之上。对于玻色弦，维拉宿条件产生于库仑规范的具有两维协方差的拉格朗日；对于超对称弦，超-维拉宿约束产生于库仑规范的两维拉格朗日，它具有局域超对称性及一般的协方差。

不能直接将费米子耦合到广义相对论中，因为D-维中的广义坐标变换通过GL(D,R)变换来变换玻色场，而GL(D,R)是可逆的D×D实值矩阵群，并不具有有限维的旋量表示。存在洛伦兹群的旋表示，所以旋量如何在洛伦兹变换下变换清晰可见。广义坐标变换也叫作微分同胚映射，而非洛伦兹变换。这一课题在关于广义相对论的教科书中都有论述。这里，我们将给出务实的讨论。

在D-维流形M上考虑旋量，等价原理意味着在流形的每一点存在一个惯性系。它们能够看作在流形中的相应点作用在平直切空间。在局域惯性系中，引入标准正交切矢量的基矢。于是，对每个m，是一个切矢量，其中μ是矢量指标。若我们以洛伦兹变换作用于m指标，将修改为新的切矢量的基。这在后面还会进行更全面的讨论。的指标μ在M的微分同胚映射下像其他矢量指标一样变换。洛伦兹指标m仅是切矢量的名称，所以在M的微分同胚映射下就像一个标量那样变换。但是的引入包含了在每个时空点的任意选择，我们可在局域洛伦兹指标m处自由地给出局域SO(D-1,1)变换。引入的优势在于洛伦兹群SO(D-1,1)承认旋量表示。故旋量指标必须视作局域洛伦兹指标。是标准正交切矢量，意指的流形和闵氏度规的切空间由式（6.3.71）联系：

我们使用作为的逆变符号，而用作为的行列式。具有比D(D-1)/2更多的分量，对应于它的反对称部分。然而这许多附加的局域对称性，即局域洛伦兹变换，是同时引入的，所以传播模式纯数是不变的。

类似于杨-米尔斯势或者联络，我们必须引入旋联络，即局域洛伦兹变换的规范场。在由参数描述的无穷小洛伦兹变换下，旋联络的变化是

引入伽马矩阵，它遵守标准狄拉克代数。旋量的局域洛伦兹变换的法则是

这里用记号表示总的反对称之积。特例是。旋量的协变导数为

协变导数的意义是的变换法则不包括参数Θ的导数，它像张量那样变换。

在弯曲空间，引入伽马矩阵：

狄拉克旋量和马约拉纳旋量在引力背景中的作用量是

在广义相对论中，度规张量是协变常数，式（6.3.71）表明，的逆变是度规的平方根，于是自然要求的逆变是协变常数。实际上，若的逆变的协变导数如果不是零，则广义相对论中没有类似的量。因此要求：

可以看到该方程唯一地确定旋联络。黎曼曲率张量可以定义为杨-米尔斯场的强度，该强度由旋联络组成，即

事实上，式（6.3.78）的等号右边是一个最多由度规的两个导数确定的张量。由于旋联络由式（6.3.77）的度规确定，所以必须是黎曼张量。

作为多足虫形式应用的非平凡例子，我们主要评论N=1时4-维时空中的超引力。这个理论除包含标架场和旋联络之外，还包含具有一个旋量指标A和一个矢量指标μ的拉瑞塔-施温格场。该场的作用量为

式中，，是曲率标量；κ是引力耦合常数，即普朗克长度。4-维时空中的狄拉克矩阵写作。这一作用量具有广义坐标不变性和局域洛伦兹不变性，并且局域超对称。令其不变的超对称变换为

刚才描述的理论是第一个被发现的超引力理论，这项发现开辟了新的研究领域，该理论在超弦理论的发展中扮演着十分重要的角色。

6.3.5　超弦作用量及其对称性

要想推导式（6.1.2）中伴随库仑规范作用量的约束，需要更基本的作用量。通过进一步分析发现，必须将一个“标架场”和一个拉瑞塔-施温格场，即两分量马约拉纳旋量，以及一个世界片矢量合并。世界片上的再参量化不变性，即两维坐标不变性和局域洛伦兹不变性，可利用下式替换式（6.1.2）而得以实现：

由费米统计可以证明，旋联络对旋量项无贡献，故可以用替代。S2也不具有局域超对称性。式（6.1.23）是具有ε的σ和τ的不受限函数，在该式变换下我们得到一个正比于的变异，其中是6.1.1节中引入的超流：

现在，根据“诺特方法”引入超对称规范场——引力子。它具有超对称变换：

式中，α是矢量指标；承载着额外的旋指标。上面得到的变异可以通过调整式（6.3.75）中的χ来平衡：

在式（6.3.84）中，的变化给出了一个附加项，其形式为

这可以通过将另一项添加到形如式（6.3.86）的作用量上来取消：

完整的作用量在下述局域超对称变换下不变：

关于这个结果，有几点值得注意：对于D>2，不像超引力理论，场不存在动能项；爱因斯坦-赫尔伯特作用量～是一个可以添加的正比于欧拉特性的拓扑不变量；对引力子，完全不存在动能项；两维超对称变换的对易子给出了其他具有场关联系数的局域对称性组合，在超引力理论中也一样。

除上面描述的对称性之外，还有两种S的局域对称性：一种是玻色弦中遇到的局域外尔或者共形对称性的扩展。保留S不变性的外尔变换是

另一种是局域费米子对称性，由下式给出：

式中，η是任意马约拉纳旋量，其证明需要借助等式实现。总之这些对称性意指S是个“超共形”理论。

现在我们能够利用公式化协变规范选择给出超-维拉宿约束方程的推导。这种选择可以简单地导出场方程和约束条件。先对经典理论提供分析，然后在下一节的量子内容中重新考虑。

总之存在4种局域玻色对称性：两种世界片再参量化局域玻色对称性，一种局域洛伦兹局域玻色对称性，一种外尔标量局域玻色对称性。在这种规范中，作用量简化了式（6.1.2）的整体超对称性，运动方程恰是

其必须通过场的运动方程进行评估，而在规范中评估。

最后的方程是能量-动量张量和超流，其在世界片上为0：

这些是超-维拉宿约束方程，可由基本的规范不变性推导出来。