2.1.4 费米函数
费米函数听起来很抽象，下面打个比方，某小学有一个班级，人数为40人，班上可以提供50个座位。老师根据学生的身高分配座位，常用的规则就是较高的同学坐在后面，而较低的学生坐在前面。当给所有的学生分配完座位后，还有10个空闲的座位。
电子在原子内的分布情况和分布规则，与上面这个例子相似。电子的能级好像是例子中的座位，而电子的能量好像是例子中学生的身高。能量较高的电子，就好像是身高较高的学生，将占据高位的能级，类似于例子中后面的座位，并使得低位能的能级留下空缺，即空位。材料的导电性和位于导带的导电电子的密度 （数量） 有关。为了了解这一点，我们需要了解电子的量子分布状态 （如例子中的座位分配），以及电子的能量分布 （即学生的身高分布） 后，才能知道有多少自由电子位于导带内，即有多少较高的学生能坐在后座。在材料学中，通常将前者 （即电子的量子分布状态） 称为状态密度；后者 （即电子的能量分布） 称为费米函数。费米函数表示为：
式中，E F为费米能级；T为开氏温度，单位K；k为波尔兹曼常数，k=8.617×10 -5 eV/K。
当温度接近绝对零度，即T≈0K时，当E＞EF时，f（E）→∞；当E＜EF时，f（E）→1。即在费米能级处锐截止；能量低于EF的所有能量状态将被充满，而能量高于EF的所有能量是空的，如图2.4 （a） 所示。
当系统温度超过0K时，即T＞0K时，上式指数项有一个极限值，并且函数从填充态到空状态有一个过渡。当E＞EF时，f（E）随着能量增加呈指数衰减为零，价带能级上Ev≈E=EF +3kT上的大多数能态是空的；当E＜EF时，f（E） 随着能量降低呈指数增加，f（E） →1，导电能级Ev≈E=EF-3kT上的大多数能态将被填充。f（E）和1-f（E）的关系如图2.4 （b） 所示。
如果f（E）为电子占领给定能态E的概率，则给定能态为空的概率为1—f（E）。因此，在导带边缘 （Ec） 的能态被填充的概率与在价带边缘 （EV） 的能态为空的概率相等，即：
图2.4 费米函数的能量关系
代入式 （2.2），得到费米能级表示为：
即位于能带的中间。