1.2 电磁学基础

首先，对于任何CAE软件而言，仿真本身并不是目的，真正的目的是通过正确的仿真得到优质的设计。因此，我们首先需要确定我们的仿真是正确的，是能够反映真实物理现象的。其次，我们还需要在仿真后能够对仿真结果进行充分、详细的分析。

了解电磁学的理论知识，能够帮助我们加深对仿真方法的理解，从而比较深入地理解输入条件并且能够对结果进行详细的分析，最终实现优质的设计。

下面将对JMAG仿真中相关的电磁学理论进行简单的介绍，对这些内容十分熟悉的读者可以跳过本节内容。

1.2.1 基本方程

有限元仿真中，最核心的思想就是将连续的模型分割成一个个网格进行离散化，通过基本方程计算这些网格上的值，再整合出整体的计算结果。而对于JMAG这款低频电磁场仿真软件而言，最核心的基本方程有麦克斯韦方程组和材料方程。

1.麦克斯韦方程组（Maxwell's equations）

麦克斯韦方程组是英国物理学家詹姆斯·克拉克·麦克斯韦在19世纪建立的一组描述电场、磁场与电荷密度、电流密度之间关系的偏微分方程。它由4个方程组成：描述电荷如何产生电场的高斯定律、论述磁单极子不存在的高斯磁定律、描述电流和时变电场怎样产生磁场的麦克斯韦-安培定律、描述时变磁场如何产生电场的法拉第感应定律。

JMAG中定义的麦克斯韦方程组由以下4个公式组成：

式中，B是磁通密度（T）；D是电位移矢量；H是磁场强度（A/m）；J0是强制电流密度（A/m2）；Jc是传导电流密度（A/m2）；E是电场强度（V/m或N/C）；ρ是电荷密度（C/m）。

式（1-1）与我们常见的公式不同，电磁场有限元仿真中通常会分别列出J0和Jc。其中J0代表的是强制电流密度，指的是仿真中用户指定的输入电流密度，因此称之为“强制”电流密度。Jc指的是传导电流密度，是指在电场作用下，自由电子在导体中运动产生的电流密度，在仿真中通常指的是涡流。

2.材料方程

除了麦克斯韦方程组以外，材料方程也是十分重要的。借助这些方程，JMAG可以把用户设定的材料参数（介电常数、B-H曲线等）考虑到有限元仿真中。

式中，B是磁通密度（T）；μ是磁导率；H是磁场强度（A/m）；Jc是传导电流密度（A/m2）；σ是电导率；E是电场强度（V/m或N/C）；ε 是介电常数；D是电位移矢量，也称为电通量密度。

1.2.2 电流与磁场的关系

电磁学，顾名思义是电与磁的学科。我们都知道，有电流I（A）的地方就会有磁场，而描述磁场强弱和方向的物理量就是磁通密度B（T），电流与磁通密度的关系满足右手螺旋定律，如图1-1所示。

1.2.3 磁铁与磁性材料

如图1-2所示，环电流叠加形成线圈，最终形成右侧的磁通密度。这也是通常所说的电磁铁的原理。

1.安培分子电流假说

磁铁的原理如图1-3所示。安培认为在原子、分子等物质微粒的内部，存在着一种环形电流——分子电流，使每个微粒成为微小的磁体，分子的两侧相当于两个磁极，最终在宏观视角下形成了磁铁。分子电流的起因是原子内部电子的运动，因此磁铁的磁场其实与电流的磁场一样，其本质都是由电荷的运动产生的。通过JMAG的仿真结果（图1-4）可以看出，单从磁场来看，线圈产生的磁场和磁铁产生的磁场没有什么区别，在电磁场仿真中我们可以认为它们是同样的模型。

2.磁化

此外，我们通常会使一些不具有磁性的物质获得磁性，这种行为通常被称为磁化。图1-5所示为磁畴磁化的过程，杂乱无章的磁畴会因为外部磁场作用而排列整齐，最终形成具有磁性的磁体。反映磁体磁性强弱程度的物理量被称为磁化强度M（A/m）。很多工程师只关心磁通密度和磁场的关系，而忽视了磁化强度和磁场的关系。我们会在后面介绍为什么需要考虑磁化强度和磁场的关系（M-H曲线）。

磁通密度B（T）、磁化强度M（A/m）和磁场强度H（A/m）之间的关系为

式中，H是磁场强度（A/m）；B是磁通密度（T）；μ0是真空磁导率；μr是相对磁导率；M是磁化强度（A/m）。

3.磁饱和

我们可以发现，向磁性材料施加磁场时，产生的磁通密度的大小由磁导率所决定。较大的磁导率，使得少量的磁场（电流、磁化）产生大量的磁通密度。然而，由于导磁材料物理结构的限制，磁化强度无法无限增大，会保持在一定的数量下。我们称这个现象为磁饱和。此处需要强调的是，饱和时无法无限增大的不是磁通密度B，而是磁化强度M。根据式（1-8），只要H增加，B就会增加。即便是饱和的情况下，也仅仅是M不再增加，而B会按照磁场和真空中磁导率的关系不断增加。因此，真正饱和的是磁化强度M，如图1-6所示。从图中可以看出，随着H的增加，M会达到一个稳定状态，此时斜率为0。所以说常见的B-H曲线，在饱和状态下都是向右上方斜向增加的，而不是水平的（水平的是磁化强度M）。

4.磁滞回线

如果把磁性材料放入磁场中进行磁化，再将磁场去除会发生什么？在将磁场施加到磁性材料之后，即便是把磁场减小，也无法回到原始磁化曲线。在增加磁场之后减小磁场，磁化会减小，但是减小时的路径与增加时的路径不同，并且即使去除磁场，磁性材料也会保持磁性。例如，将螺钉旋具放在磁铁上来回摩擦后，即使移除了磁铁，螺钉旋具也会吸引螺钉。换句话说，接下来的M-H曲线上的位置不仅取决于当前位置，还取决于之前磁化的路径，这种特性称为磁滞。磁滞曲线如图1-7所示。

不妨思考下，如果施加反向磁场，然后撤销反向磁场，再施加正向磁场，如此循环会怎么样？如图1-8所示，充、去磁路径形成闭环，该曲线被称为磁滞回线。磁滞回线是引起电气设备产生损耗的重要原因，其本质是上文所提到的磁畴在改变方向及畴壁移动时消耗能量，这部分能量即是损耗。可以证明，磁滞回线所包围的面积正比于在一次循环磁化中的能量损耗。

需要根据磁场改变的磁化状态（工作点）改变跟随的轨迹来绘制复杂的小回环。如图1-9所示，原点开始的轨迹是初始磁化曲线，代表的是由未充磁状态充磁至饱和的过程。外侧曲线是主要循环，它是施加H到最大值使得B达到饱和的磁滞回线轨迹。而内侧曲线是主要循环以外的轨迹。此外，当施加到磁性材料的外部磁场的频率改变时，主要循环的轨迹也会改变，如图1-10所示。

5.硬磁性材料

在磁化后能长久保持磁性、不容易失去磁性的材料被称为硬磁性材料。硬磁性材料和软磁性材料的最大区别就是矫顽力Hc的不同，软磁性材料的矫顽力通常为10～1000A/m，硬磁性材料通常为10000A/m以上。硬磁性材料通常也被称为永磁体，它不易失磁，也不易被磁化。软磁材料与硬磁材料的具体区别如图1-11所示。

6.退磁

若加热永磁体至居里温度以上，或将其置于反向高磁场强度的环境中时，永磁体的磁性会减少或消失，这种现象被称为退磁。当外加反向磁场强度大于拐点所对应的磁场强度，便会导致不可逆退磁。不可逆退磁是指磁铁的残留磁通密度变小，磁化强度变弱。越过拐点的不可逆退磁，即便是再度磁化也无法恢复到原来的状态，如图1-12所示。这与弹簧的弹性变形与塑性变形类似，当变形量超过某个阈值之后，状态就不可逆转了。

7.热退磁

此外，对于退磁而言，温度也是一个十分重要的参数。即使在低温下没有超过拐点，但温度升高可能会导致热退磁。一旦发生热退磁，即使永磁体返回到低温，也无法恢复到原来的磁性能，即发生不可逆退磁。如图1-13所示，蓝色线表示低温，黄色线表示高温。在低温情况下，施加反向磁场，磁化状态（工作点）并不会超过拐点，但是在高温状态下则会超过拐点引起热退磁。

1.2.4 电磁感应与涡流

介绍完磁铁与磁性材料的相关知识之后，本节将介绍电磁铁的一些知识。

1.电磁感应

电磁感应是指放在变化的磁通量中的导体会感应出电动势，此电动势被称为感应电动势（感生电动势）。若将此导体闭合成一回路，则该电动势会驱使电子流动，从而形成感应电流（感生电流）。如图1-14所示，当下方电路的开关打开时，灯泡会闪烁一下；当开关合上时，灯泡也会闪烁一下。

在电磁感应中，法拉第电磁感应公式是十分重要的，即

式中，Vemf是指电动势（Electromotive Force），即感应电压（V）；Φ是磁通量（Wb），即通过线圈的磁通；t是时间（s）。

磁通量可以表示为磁场在曲面面积上的积分，单位为韦伯（Wb），如图1-15所示。其计算公式为

式中，Φ是磁通量（Wb）；B是磁通密度（T）；S是线圈面积（mm2）；n是在面积S上的法线矢量。

2.电感

电感是一个十分重要的参数。如图1-16所示，线圈中流过电流I，产生磁通Φ。而磁通Φ和电流I成比例，并满足式（1-11）。其中L就是电感，单位为亨利（H）。

式中，Φ是磁通量（Wb）；L是电感（H）；I是电流（A）。

此时，电磁感应的方程可以写为

式中，Vemf是电动势（Electromotive Force），即感应电压（V）；Φ是磁通量（Wb）；L是电感（H）；I是电流（A）；t是时间（s）。

3.自感与互感

电感是闭合回路的一种属性，即当通过闭合回路的电流改变时，会产生电动势来抵抗电流的改变，这种形式的电感被称为自感（图1-17a），它是闭合回路自身的属性。假设一个闭合回路的电流改变，由于在另一个闭合回路感应出电动势，这种电感称为互感（图1-17b）。也可以说，电感是流过某个线圈的电流产生的与自身或另一个线圈相互连接的磁通能力的一个指标。

如图1-18所示，对于电感较大的电路，施加电压后产生的电流响应会有延迟。电流延迟τ是根据线圈的电感L和电阻R的比例来决定的。如果使用带铁心的线圈，那么相同的电流会获得更大的磁通，这说明带铁心线圈的电感会更大。

式中，τ是电流延迟；L是电感（H）；R是电阻（Ω）。

4.涡流

电磁铁和小灯泡的例子相同，当钢板或铜块之类的导体处于随时间变化的磁通时，导体内会产生电流，也就是涡流。金属中的传导电流与电场的关系如下

式中，Jc是传导电流密度（A/m2）；σ是电导率；E是电场强度（V/m或N/C）。

如图1-19所示，涡流产生的磁通对输入的磁通有屏蔽的效果。

5.趋肤效应

趋肤效应是涡流集中在导体表面的效应，如图1-20所示。导体中电流密度减小到导体截面表层电流密度的1/e处的深度为集肤深度δ，计算公式见式（1-15）。对于半无限导体，其涡流的分布是从表面开始向内部呈指数减少。

式中，δ是集肤深度；ω是角频率（rad/s）；σ是电导率；μ是磁导率。

1.2.5 磁路

磁路即磁通通过的路径。磁路预测中最值得关注的一点是软磁材料相比空气更容易导磁，因此如果存在软磁材料，则磁通会被引导在软磁材料中，而在软磁材料外侧的地方，磁通就不易通过，从而起到屏蔽的效果。如图1-21所示，如果磁铁周围没有软磁材料那么磁铁左侧画圈处就会有磁通流过；如果磁铁周围有软磁材料，那么左侧画圈处就没有磁通流过。

1.2.6 电磁力

诸如电动机和电磁铁等许多磁性装置，都在积极地使用电磁力。本节将介绍各种引起电磁力的原因，并且会说明JMAG中电磁力设定的区别及使用场景。

1.导体上的力

运动电荷在磁场中所受到的力称为洛伦兹力，即磁场对运动电荷的作用力。从场的角度来说，弯曲的磁力线有会自动拉直的倾向，如图1-22所示。JMAG中的[Lorentz Force]就是用于计算洛伦兹力的条件。通过洛伦兹力的定义可知，该条件适用于计算磁场中导体所受的电磁力，并不能用于计算磁性材料上的电磁力。

2.作用于磁场中磁铁的力

如图1-23所示，磁铁的磁场与外部磁场相互叠加，形成合成磁场。此时，可以想象合成磁场的磁力线向两侧拉伸，以此来预测电磁力的方向。在JMAG中，可以通过[Nodal Force]节点力条件来进行计算。节点力是通过有限元分析中的有限元节点的结果来推导整个部件的作用力。相比于上述洛伦兹力而言，它的应用范围更广，常见磁性材料的受力都可以用节点力条件来计算。但是，由于它是基于有限元节点推导的，所以会因为有限元网格的划分而产生不同的结果。因此，在使用节点力条件的计算中，合理地划分网格十分重要。

3.表面上的力

表面力其实并不是某一种物理现象引起的力，而是通过麦克斯韦应力张量理论的一种电磁力计算方法。在JMAG中，[Surface Force]对应的就是这种计算方法。它是通过计算经过某个表面上的磁通密度来进一步计算出电磁力的，就好像在电机的NVH分析中，我们经常会通过仿真计算出气隙处的磁密，再通过式（1-16）算出电磁力。

式中，Fr是径向电磁力（N）；Br是径向磁通密度（T）；μ0是真空磁导率。

之所以使用这种方法，是因为电机定子内侧是由齿和槽口组成的，如果通过节点力计算，则无法提取出连续的电磁力（槽口处为空气，电磁力为0）。通过表面力方法则可以观察到电机气隙部分的磁力线和力，并且可以看到空气中电磁力的相互排斥、吸引或者推动，如图1-24所示。

然而，表面力需要画出计算面，计算面的选取对计算精度有非常大的影响。通常我们并不推荐JMAG用户使用表面力进行计算，因为如何选择计算面是一个很复杂的问题。如图1-25a所示，将铁块和磁铁放在一起，在铁块外侧取多个不同的计算面，它们与铁块表面的距离各不相同。如图1-25b所示，通过仿真求得的作用于铁块的力会因计算面到铁块表面距离的不同而不同。也就是说，计算面的选取会导致计算结果的不同。如果计算面选取不当（如距离铁块表面0mm或0.5mm），那么计算结果偏差就会偏大。

考虑到大部分用户都会有“如何选择合适的方法？”这个问题，本节将直观地对JMAG中3种电磁力的计算方法进行对比，详见表1-1。

由于任何问题都需要因地制宜、具体分析，这里就基于最常用的情况提供如下判断基准：明确计算对象。如果是导体，则请用洛伦兹力方法求解，比如计算磁场中通电导线的电磁力；如果是磁性材料，则请用节点力方法求解，比如电机定子上齿部的电磁力；而表面力密度条件在计算定转子之间磁拉力的时候会用到，比如偏心的时候，虽然力是施加到转子上，软件会自动扩展为在气隙中间表面积分电磁力密度，以此来观察定转子之间磁拉力的分布情况。