2.2.1 频域小信号阻抗描述

1.小信号的频域化处理

电力电子设备广泛应用于交流系统中，其电压和电流随时间呈周期性变化。小信号建模分析习惯于将时域线性化分析转换到频域，获得平衡点附近的线性化模型。

对于电力电子设备构成的新能源设备系统，平衡点的输入、输出及状态变量可以统一描述为正、余弦信号的形式，三相信号分别写作

式中，ya(t)、yb(t)和yc(t)分别为a、b、c相交流信号；f1为基频频率；Ak+、Ak-和Ak0分别为三相交流信号在频率kf1下的正、负、零序的幅值；φk+、φk-和φk0分别为正、负、零序的相位。

新能源设备在单相交流系统、三相平衡系统或三相不平衡系统等不同交流系统中运行，其主要区别在于交流信号所含序分量不同。正、负、零序分量可以通过对称分量法得到，其呈现周期性时变特征，可表示为含有多个频率的周期性时变正弦信号。

不失一般性，当一个三相交流信号满足狄利克雷条件时，可将其按照傅里叶级数展开为

式中，k为正整数；a0为傅里叶级数直流分量；ak为傅里叶级数余弦分量；bk为傅里叶级数正弦分量。傅里叶级数展开式系数a0、ak和bk可分别表示为

根据欧拉公式，式（2-4）所示的傅里叶级数可以用复指数形式表示为

式中，c0=a0，为傅里叶级数直流分量；，tanφk=-bk/ak，分别为傅里叶级数频率kf1交流分量的幅值和相位。

为方便反映周期信号频率kf1交流分量的幅值和相位，即时域信号的频域结果，定义复傅里叶系数Fk，将频率为kf1的周期信号以复指数形式表示，如下式所示：

由此，周期信号f（t）可以表示为复指数形式的傅里叶级数表达式：

小信号变量具有多种表述形式，比如用复指数形式的傅里叶系数来表示。以电压小信号v（s）为例，s=j2πf，表示这是频率f的电压小信号，而v（s）在数值上等于频率f的复傅里叶系数。由式（2-9）可知，复傅里叶系数Fk不含频率信息。在一般的谐波分析中，频域输入量与输出量的映射关系默认是同一谐波频率下发生的，所以不需要强调频率。不过，新能源设备中含有电力电子设备，在开关、调制和控制过程中，电气量与控制信号间的交互，在频域变换后引入了不同频率信号间的卷积运算，使得不同谐波频率信号之间呈现耦合关系。

2.Park变换与频移效应

新能源设备并网多采用矢量控制，通过Park变换和锁相环将三相正弦信号转换到dq坐标系下的直流信号，如图2-1所示。锁相环设备通过控制q轴电压vq为0，使得锁相环相角θPLL跟踪电网相角θ1，从而实现同步。在理想同步情况下，θPLL=θ1。

电路中的三相交流信号从静止坐标系下转换到dq坐标系时，其频率发生偏移，又称频移效应。以向新能源并网系统中注入正序扰动为例，频率为fp的三相电压小信号分量表示为

式中，Vp为正序电压幅值；ωp=2πfp，fp为小信号的频率；φp为相位。通过Park变换，将三相交流信号转换到dq直流信号，可得：

式中，θPLL=ωPLLt，为锁相环得到的相角。结合积化和差、和差化积公式，式（2-14）可表述为

通过上述分析可知，Park变换将静止三相坐标系下的变量转换到旋转dq坐标系下，小信号频率发生了偏移。根据频率偏移效应，注入三相正序扰动后的dq小信号频率为fp-f1。同理，可以推导出向系统注入频率为fn的负序扰动后，经过Park变换后dq的小信号频率为fn+f1。

3.Park反变换与二倍频镜像频率耦合

正序三相正弦扰动信号vp(fp)经Park变换后，形成dq坐标系下的电压小信号vdq(fp-f1)，其为控制环节的输入量。经过变流器控制环节后输出为调制电压小信号mdq(fp-f1)，可表示为

式中，mp,d和mp,q，φm,d和φm,q分别为调制电压小信号d轴分量与q轴分量的幅值与相位大小。

镜像频率耦合以两电平变流器为例，如图2-2所示。经过Park变换后的调制电压小信号mdq（fp-f1）会与直流电容电源vdc（fp-f1）相互作用，可得到三相桥臂输出电压小信号vg（fp,fp-2f1）。频率为fp的变流器端电压可表示为

频率为fp的电压分量存在频率为fp-2f1的镜像耦合分量，可表示为

假设变流器主电路和控制环节完全对称，vp,d和vp,q相同。此时，镜像耦合分量，输出电压小信号中仅含有扰动频率fp的分量。但是实际情况中上述假设并不成立，输出电压小信号中除含有扰动频率fp外还含有频率fp-2f1，这个频率就是所谓的二倍频镜像频率。同理，当电网中含有频率为fn的负序三相扰动信号时，最终变流器输出的负序调制电压小信号中含有频率fn+2f1。