第七届全国大学生数学竞赛预赛（2015年非数学类）

试题

一、计算下列各题（本题共5个小题，每题6分，共30分）（要求写出重要步骤）

（2）设函数z=z（x，y）由方程所决定，其中F（u，v）具有连续的偏导数，且xFu+yFv≠0，则.（本小题结果要求不显含F及其偏导数）

（3）曲面z=x2+y2+1在点M（1，-1，3）的切平面与曲面z=x2+y2所围区域的体积为________.

（4）函数在（-5，5］内的傅里叶级数在x=0收敛的值为________.

（5）设区间（0，+∞）上的函数u（x）定义为，则u（x）的初等函数表达式为________.

二、（12分）设M是以三个正半轴为母线的半圆锥面，求其方程．

三、（12分）设f（x）在（a，b）内二次可导，且存在常数α，β使得对于∀x∈（a，b），f′（x）=αf（x）+βf″（x），证明f（x）在（a，b）内无穷次可导．

四、（14分）求幂级数的收敛域与和函数．

五、（16分）设函数f在［0，1］上连续，且．试证：

（1）∃x0∈［0，1］，使得｜f（x0）｜＞4；（2）∃x1∈［0，1］，使得｜f（x1）｜=4.

六、（16分）设f（x，y）在x2+y2≤1上有连续的二阶偏导数，．若f（0，0）=0，fx（0，0）=fy（0，0）=0，证明.

参考答案

一、解　（1）由于，而

由夹逼准则，可得.

（2）方程两端关于x求偏导数，可得

类似地，对y求偏导数可得

于是，有

（3）曲面z=x2+y2+1在点M（1，-1，3）的切平面为

2（x-1）-2（y+1）-（z-3）=0，即z=2x-2y-1.

联立得所围区域在xOy面上的投影D为

D=｛（x，y）｜（x-1）2+（y+1）2≤1｝.

所求体积为

令x-1=rcost，y+1=rsint，则dσ=rdtdr，D：所以

（4）由狄利克雷收敛定理，得.

所以.

二、解　显然O（0，0，0）为M的顶点，A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1）在M上．由A、B、C三点决定的平面x+y+z=1与球面x2+y2+z2=1的交线L是M的准线．

设P（x，y，z）是M上的点，（u，v，w）是M的母线OP与L的交点，则OP的方程为

代入准线方程，得

消去t，得圆锥面M的方程为xy+yz+zx=0.

三、证明　（1）若β=0，则∀x∈（a，b），有

f′（x）=αf（x），f″（x）=α2f（x），…，f（n）（x）=αnf（x），…，

从而f（x）在（a，b）内无穷次可导．

（2）若β≠0，则∀x∈（a，b），有

（1）

其中.

因为（1）式右端可导，从而有

f‴（x）=A1f″（x）+B1f′（x）.

设f（n）（x）=A1f（n-1）（x）+B1f（n-2）（x），n＞1，则

f（n+1）（x）=A1f（n）（x）+B1f（n-1）（x）.

所以，f（x）在（a，b）内无穷次可导．

四、解　因，所以收敛半径R=+∞，收敛域为（-∞，+∞）．由

及幂级数的收敛域都为（-∞，+∞），得

用S1（x），S2（x），S3（x）分别表示上式右端三个幂级数的和，依据ex的幂级数展开式可得到

综合上述讨论，可得幂级数的和函数为

五、证明　（1）反证法．若∀x∈［0，1］，｜f（x）｜≤4，则

因此，.而，故

所以对于任意的x∈［0，1］，｜f（x）｜=4．又由f（x）的连续性知，

f（x）≡4　或　f（x）≡-4.

这与条件矛盾．所以∃x0∈［0，1］，使得

｜f（x0）｜＞4.

（2）先证∃x2∈［0，1］使得｜f（x2）｜＜4．若不然，∀x∈［0，1］，｜f（x）｜≥4，则f（x）≥4或f（x）≤-4恒成立，这与矛盾．

再由f（x）的连续性及（1）的结果，利用介值定理，可得∃x1∈［0，1］使得｜f（x1）｜=4.

六、证明　在（0，0）处展开f（x，y）得

记，则

由于以及

于是有

即，从而