第二节 基于稀疏表示的图像重建模型与算法

如前文，k空间数据是一个频率域上的数据点阵。每一个f都可以通过一定的重建技术得到一幅空间域中的图像，即磁共振图像I。若在磁共振扫描中，我们所得到的是完整的k空间数据，则MR信号f和MR图像I之间可通过如下傅里叶变换

及其逆变换来转换，其中表示傅里叶变换，为磁共振图像。值得注意的是，不论是基于数学模型的图像重建方法还是基于深度学习的方法都可以考虑在频率域或空间域中保持数据一致性，也可以两者同时考虑。读者可以在下文介绍的各种模型中思考它们之间差异。

上式表明，当k空间数据f足够多时，我们可以直接通过逆傅里叶变换得到较好的磁共振图像。但是，获取完整的k空间数据将花费较长的扫描时间，此外还存在一系列成像问题。为了解决这些问题，我们可从信号采集的源头入手，也可以从快速算法入手。于是，一系列基于稀疏表示的图像重建模型与算法出现了。首先，我们介绍一下什么是稀疏表示。