第二届全国大学生数学竞赛预赛（2010年非数学类）

试题

一、计算下列各题（本题共5个小题，每题5分，共25分）（要求写出重要步骤）

（1）设，其中｜a｜＜1，求.

（2）求.

（3）设s＞0，求.

（4）设函数f（t）有二阶连续导数，，求.

（5）求直线l1：与直线l2：的距离．

二、（15分）设函数f（x）在（-∞，+∞）上具有二阶导数，并且

且存在一点x0，使得f（x0）＜0．证明：方程f（x）=0在（-∞，+∞）恰有两个实根．

三、（15分）设函数y=f（x）由参数方程

所确定，且，其中ψ（t）具有二阶导数，曲线在t=1处相切．求函数ψ（t）.

四、（15分）设an＞0，，证明：

（1）当α＞1时，级数收敛；

（2）当α≤1，且Sn→∞（n→∞）时，级数发散．

五、（15分）设l是过原点、方向为（α，β，γ）（其中α2+β2+γ2=1）的直线，均匀椭球（其中0＜c＜b＜a，密度为1）绕l旋转．

（1）求其转动惯量；

（2）求其转动惯量关于方向（α，β，γ）的最大值和最小值．

六、（15分）设函数φ（x）具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线C上，曲线积分的值为常数．

（1）设L为正向闭曲线（x-2）2+y2=1．证明：.

（2）求函数φ（x）.

（3）设C是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求.

参考答案

一、（1）解　将xn恒等变形

由于｜a｜＜1，可知，从而.

（2）解

（3）解　因为s＞0时，，所以

由此得到

（4）解　因为，所以

利用对称性有

（5）解　直线l1的对称式方程为l1：．记两直线的方向向量分别为l1=（1，1，0），l2=（4，-2，-1），两直线上的定点分别为P1（0，0，0）和P2（2，1，3），.

l1×l2=（-1，1，-6）．由向量的性质可知，两直线的距离

二、证法1　由必有一个充分大的a＞x0，使得f′（a）＞0.

由f″（x）＞0知y=f（x）是凹函数，从而

f（x）＞f（a）+f′（a）（x-a），x＞a.

当x→+∞时

f（a）+f′（a）（x-a）→+∞，

故存在b＞a，使得

f（b）＞f（a）+f′（a）（b-a）＞0.

同样，由，必有c＜x0，使得f′（c）＜0.

由f″（x）＞0知y=f（x）是凹函数，从而

f（x）＞f（c）+f′（c）（x-c），x＜c.

当x→-∞时

f（c）+f′（c）（x-c）→+∞，

故存在d＜c，使得

f（d）＞f（c）+f′（c）（d-c）＞0.

在［x0，b］和［d，x0］利用零点定理，∃x1∈（x0，b），x2∈（d，x0）使得f（x1）=f（x2）=0.

下面证明方程f（x）=0在（-∞，+∞）只有两个实根．

用反证法．假设方程f（x）=0在（-∞，+∞）内有3个实根，不妨设为x1，x2，x3且x1＜x2＜x3．用f（x）在区间［x1，x2］和［x2，x3］上分别应用罗尔定理，则各至少存在一点ξ1（x1＜ξ1＜x2）和ξ2（x2＜ξ2＜x3），使得f′（ξ1）=f′（ξ2）=0．再将f′（x）在区间［ξ1，ξ2］上使用罗尔定理，则至少存在一点η（ξ1＜η＜ξ2），使f″（η）=0．此与条件f″（x）＞0矛盾．从而方程f（x）=0在（-∞，+∞）不能多于两个根．

证法2　先证方程f（x）=0至少有两个实根．

由，必有一个充分大的a＞x0，使得f′（a）＞0.

因f（x）在（-∞，+∞）上具有二阶导数，故f′（x）及f″（x）在（-∞，+∞）均连续．由拉格朗日中值定理，对于x＞a有

f（x）-［f（a）+f′（a）（x-a）］=f（x）-f（a）-f′（a）（x-a）
=f′（ξ）（x-a）-f′（a）（x-a）
=［f′（ξ）-f′（a）］（x-a）
=f″（η）（ξ-a）（x-a），

其中，a＜ξ＜x，a＜η＜x．注意到f″（η）＞0（因为f″（x）＞0），则

f（x）＞f（a）+f′（a）（x-a），x＞a.

又因f′（a）＞0，故存在b＞a，使得

f（b）＞f（a）+f′（a）（b-a）＞0.

又已知f（x0）＜0，由连续函数的中间值定理，至少存在一点x1（x0＜x1＜b）使得f（x1）=0，即方程f（x）=0在（x0，+∞）上至少有一个根x1.

同理可证方程f（x）=0在（-∞，x0）上至少有一个根x2.

下面证明方程f（x）=0在（-∞，+∞）只有两个实根．（以下同证法1）

三、解　因为

由题设，故，从而

（1+t）ψ″（t）-ψ′（t）=3（1+t）2，

即

设u=ψ′（t），则有，故

由曲线y=ψ（t）与在t=1处相切知．所以，由此知．由，知C2=2．于是

四、证　令f（x）=x1-α，x∈［Sn-1，Sn］．将f（x）在区间［Sn-1，Sn］上用拉格朗日中值定理，存在ξ∈（Sn-1，Sn），使

f（Sn）-f（Sn-1）=f′（ξ）（Sn-Sn-1），

即

（1）当α＞1时

显然的前n项和有界，从而收敛，所以级数收敛．

（2）当α=1时，因为an＞0，Sn单调递增，所以

因为Sn→+∞，对任意n，当p∈N，，从而．所以级数发散．

当α＜1时，．由发散及比较判别法，发散．

五、解　（1）设旋转轴l的方向向量为l=（α，β，γ），椭球内任意一点P（x，y，z）的径向量为r，则点P到旋转轴l的距离的平方为

d2=r2-（r·l）2=（1-α2）x2+（1-β2）y2+（1-γ2）z2-2αβxy-2βγyz-2αγxz.

由积分区域的对称性可知

而

由转动惯量的定义

（2）考虑目标函数

V（α，β，γ）=（1-α2）a2+（1-β2）b2+（1-γ2）c2

在约束α2+β2+γ2=1下的条件极值．

设拉格朗日函数为

L（α，β，γ，λ）=（1-α）a2+（1-β2）b2+（1-γ2）c2+λ（α2+β2+γ2-1），

令

Lα=2α（λ-a2）=0，Lβ=2β（λ-b2）=0，Lγ=2γ（λ-c2）=0，Lλ=α2+β2+γ2-1=0.

解得极值点为

Q1（±1，0，0，a2），Q2（0，±1，0，b2），Q3（0，0，±1，c2）.

比较可知，绕z轴（短轴）的转动惯量最大，为；绕x轴（长轴）的转动惯量最小，为

六、解　（1）设，闭曲线L由Li（i=1，2）组成．设L0为不经过原点的光滑曲线，使得（其中为L1的反向曲线）和L0∪L2分别组成围绕原点的分段光滑闭曲线Ci（i=1，2）．由曲线积分的性质和题设条件

（2）设.令，即，解得φ（x）=-x2.

（3）设D为正向闭曲线Cδ：x4+y2=δ2所围区域，由已知条件及（2）

利用格林公式和对称性